Linjär sannolikhetsmodell

Inom statistik är en linjär sannolikhetsmodell (LPM) ett specialfall av en binär regressionsmodell . Här tar den beroende variabeln för varje observation värden som är antingen 0 eller 1. Sannolikheten att observera en 0 eller 1 i något fall behandlas som beroende på en eller flera förklarande variabler . För den "linjära sannolikhetsmodellen" är detta förhållande särskilt enkelt och gör att modellen kan anpassas genom linjär regression .

Modellen antar att $Y$ och dess associerade vektor av förklarande variabler, X $\displaystyle X}, för ett binärt resultat ($ Bernoulli-försöket ) ,

$\Pr(Y=1|X=x)=x'\beta .$

För denna modell,

$E[Y|X]=\Pr(Y=1|X)=x'\beta ,$

och följaktligen kan vektorn för parametrarna β uppskattas med hjälp av minsta kvadrater . Denna anpassningsmetod skulle vara ineffektiv och kan förbättras genom att anta ett iterativt schema baserat på viktade minsta kvadrater , där modellen från föregående iteration används för att tillhandahålla uppskattningar av de villkorliga varianserna, $\operatorname {Var} (Y|X=x)$ , vilket skulle variera mellan observationer. Detta tillvägagångssätt kan relateras till att anpassa modellen efter maximal sannolikhet .

En nackdel med denna modell är att, om inte restriktioner sätts på ${\displaystyle \beta } ,$ kan de uppskattade koefficienterna antyda sannolikheter utanför enhetsintervallet [ , 1 $[0,1]}$ . Av denna anledning är modeller som logitmodellen eller probitmodellen vanligare.

Latent-variabel formulering

Mer formellt kan LPM härröra från en latent-variabel formulering (som vanligtvis finns i ekonometrisk litteratur, ), enligt följande: anta följande regressionsmodell med en latent (oobserverbar) beroende variabel:

$y^{*}=b_{0}+\mathbf {x} '\mathbf {b} +\varepsilon ,\;\;\varepsilon \mid \mathbf {x} \sim U(-a,a ).$

Det kritiska antagandet här är att feltermen för denna regression är en symmetrisk runt noll Uniform slumpvariabel, och därmed medelvärdet noll. Den kumulativa fördelningsfunktionen för $\varepsilon$ här är $F_{\varepsilon |\mathbf {x} }(\varepsilon \mid \mathbf {x} )={\frac {\varepsilon +a}{2a}}.$

Definiera indikatorvariabeln $y=1$ om ${\displaystyle y^{*}>0} ,$ och noll annars, och beakta den villkorade sannolikheten

${\rm {Pr}}(y=1\mid \mathbf {x} )={\rm {Pr}}(y^{*}>0\mid \mathbf {x} )={\rm {Pr}}(b_{0}+\mathbf {x} ' \mathbf {b} +\varepsilon >0\mid \mathbf {x} )$

$={\rm {Pr}}(\varepsilon >-b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} \mid \mathbf {x} )=1-{\rm {Pr} }(\varepsilon \leq -b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} \mid \mathbf {x} )$

$=1-F_{\varepsilon |\mathbf {x} }(-b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} \mid \mathbf {x} )=1-{\frac { -b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} +a}{2a}}={\frac {b_{0}+a}{2a}}+{\frac {\mathbf {x} '\mathbf {b} }{2a}}.$

Men det här är den linjära sannolikhetsmodellen,

$P(y=1\mid \mathbf {x} )=\beta _{0}+\mathbf {x} '\beta$

med kartläggningen

$\beta _{0}={\frac {b_{0}+a}{2a}},\;\;\beta ={\frac {\mathbf {b} }{2a}}.$

Denna metod är en allmän anordning för att erhålla en betingad sannolikhetsmodell av en binär variabel: om vi antar att fördelningen av feltermen är logistisk får vi logitmodellen , medan om vi antar att det är normalen får vi sannolikheten modell och, om vi antar att det är logaritmen för en Weibull-fördelning, den komplementära log-log-modellen .

Se även

• Linjär approximation

Vidare läsning

•   Aldrich, John H .; Nelson, Forrest D. (1984). "Den linjära sannolikhetsmodellen" . Linjära sannolikhets-, loggit- och probitmodeller . Salvia. s. 9–29. ISBN 0-8039-2133-0 .
•   Amemiya, Takeshi (1985). "Kvalitativa svarsmodeller" . Avancerad ekonometri . Oxford: Basil Blackwell. s. 267–359. ISBN 0-631-13345-3 .
•   Wooldridge, Jeffrey M. (2013). "En binär beroende variabel: den linjära sannolikhetsmodellen". Introductory Econometrics: A Modern Approach (5:e internationella upplagan). Mason, OH: Sydvästra. s. 238–243. ISBN 978-1-111-53439-4 .
• Horrace, William C. och Ronald L. Oaxaca. "Resultat på bias och inkonsekvens hos vanliga minsta kvadrater för den linjära sannolikhetsmodellen." Economics Letters, 2006: Vol. 90, s. 321-327