Line moiré

Linjemoiré är en typ av moirémönster ; ett mönster som visas när två transparenta lager som innehåller korrelerade opaka mönster överlagras. Linjemoiré är fallet när de överlagrade mönstren består av raka eller krökta linjer. När du flyttar lagermönstren förvandlas moirémönstren eller flyttas snabbare. Denna effekt kallas optisk moiré speedup.

Överlagring av lager med periodiskt upprepade parallella linjer

Figur 1. Två lager med parallella linjer

Enkla moirémönster kan observeras när två transparenta skikt överlagras som omfattar periodiskt upprepade ogenomskinliga parallella linjer som visas i figur 1. Linjerna i ett skikt är parallella med linjerna i det andra skiktet.

Överlagringsbilden ändras inte om transparenta lager med sina ogenomskinliga mönster inverteras. När man överväger tryckta prover betecknas ett av skikten som basskiktet och det andra som det avslöjande skiktet. Det antas att det avslöjande skiktet är tryckt på en OH-film och läggs ovanpå basskiktet, som kan tryckas antingen på en OH-film eller på ett ogenomskinligt papper. Perioderna för de två lagermönstren är nära. Vi betecknar perioden för basskiktet som p _b och perioden för det avslöjande skiktet som p _r .

Superpositionsbilden i figur 1 skisserar periodiskt upprepade mörka parallella band, kallade moirélinjer. Avståndet mellan moirélinjerna är mycket större än linjernas perioder i de två lagren.

Figur 2. Överlappande och sammanflätande zoner

Ljusa band i överlagringsbilden motsvarar de zoner där linjerna i båda lagren överlappar varandra. De mörka banden i överlagringsbilden som bildar moirélinjerna motsvarar de zoner där linjerna i de två lagren interfolierar sig och döljer den vita bakgrunden. Etiketterna i figur 2 visar passagerna från ljusa zoner med överlappande skiktlinjer till mörka zoner med interfolierande skiktlinjer. De ljusa och mörka zonerna växlas med jämna mellanrum.

Figur 3 visar ett detaljerat diagram av överlagringsbilden mellan två intilliggande zoner med överlappande linjer av avslöjande och basskikt (dvs. mellan två ljusband).

Perioden p _m för moirélinjer är avståndet från en punkt där linjerna i båda lagren överlappar varandra (längst ner i figuren) till nästa punkt (överst). Låt oss räkna lagerlinjerna, med början från bottenpunkten. Vid räkningen 0 överlappar linjerna i båda lagren. Eftersom i vårt fall p _r < p _b , för samma antal räknade linjer, avancerar basskiktslinjerna med lång period snabbare än de avslöjande skiktlinjerna med kort period. På halvvägs av avståndet p _m ligger basskiktslinjerna före de avslöjande lagerlinjerna med en halv period ( p _r /2) av de avslöjande lagerlinjerna, på grund av vilka linjerna interfolierar sig och bildar ett mörkt moiréband. På hela avståndet p _m ligger basskiktslinjerna före de avslöjande skiktlinjerna med en hel period p _r , så linjerna i skikten överlappar igen. Basskiktslinjerna får avståndet p _m med lika många linjer ( p _m / p _b ) som antalet avslöjande skiktlinjer ( p _m / p _r ) för samma avstånd minus en: p _m / p _r = p _m / p _b + 1. Härifrån får vi den välkända formeln för perioden p _m för superpositionsbilden:

$p_{m}={\frac {p_{b}\cdot p_{r}}{p_{b}-p_{r}}}.$

För det fall då den avslöjande skiktperioden är längre än basskiktsperioden, är avståndet mellan moiréband det absoluta värdet som beräknas med formeln. Överlagringen av två lager som innefattar parallella linjer bildar en optisk bild som innefattar parallella moirélinjer med en förstorad period. Enligt formeln för beräkning av p _m , ju närmare perioderna för de två lagren är, desto starkare är förstoringsfaktorn.

Tjockleken på lagerlinjerna påverkar den övergripande mörkheten i överlagringsbilden och tjockleken på moirébanden, men perioden p _m beror inte på lagerlinjernas tjocklek.

Påskynda rörelserna med moiré

Moirébanden i figur 1 kommer att flytta sig om vi förskjuter det avslöjande lagret. När det avslöjande lagret rör sig vinkelrätt mot lagerlinjerna, rör sig moirébanden längs samma axel, men flera gånger snabbare än det avslöjande lagrets rörelse.

Figur 4. Långsam rörelse av det avslöjande lagret uppåt

GIF -animationen som visas i figur 4 motsvarar en långsam rörelse av det avslöjande lagret. GIF-filen animerar upprepade gånger en rörelse uppåt av det avslöjande lagret (vinkelrätt mot lagerlinjerna) över ett avstånd lika med p _r . Animationen visar att moirélinjerna i superpositionsbilden rör sig uppåt med en hastighet, mycket snabbare än rörelsehastigheten för det avslöjande lagret.

När det avslöjande skiktet flyttas upp vinkelrätt mot skiktlinjerna med en hel period ( pr ₎ av dess mönster, måste den optiska superpositionsbilden vara densamma som den initiala. Det betyder att moirélinjerna korsar ett avstånd lika med perioden för superpositionsbilden p _m medan det avslöjande lagret korsar avståndet lika med dess period p _r . Om vi ​​antar att basskiktet är orörligt ( vb =0), representerar följande ekvation förhållandet mellan den optiska hastigheten och det avslöjande skiktets hastighet _:

${\frac {v_{m}}{v_{r}}}={\frac {p_{m}}{p_{r}}}.$

Genom att ersätta p _m med dess formel har vi

${\frac {v_{m}}{v_{r}}}={\frac {p_{b}}{p_{b}-p_{r}}}.$

Om perioden för det avslöjande skiktet är längre än perioden för basskiktet, rör sig den optiska bilden i motsatt riktning. Det negativa värdet på förhållandet beräknat enligt denna formel betyder en rörelse i motsatt riktning.

Överlagring av lager med lutande linjer

Här presenterar vi mönster med lutande linjer. När vi är intresserade av optisk speedup kan vi representera fallet med lutande mönster så att formlerna för beräkning av moiréperioder och optiska speedups förblir giltiga i sin nuvarande enklaste form. För detta ändamål motsvarar värdena för perioderna p _r , p _b , och p _m avstånden mellan linjerna längs rörelseaxeln (den vertikala axeln i det animerade exemplet i figur 4). När skiktlinjerna är vinkelräta mot rörelseaxeln är perioderna ( p ) lika med avstånden (betecknade som T ) mellan linjerna (som i figur 4). Om linjerna är lutande är perioderna ( p ) längs rörelsens axel inte lika med avstånden ( T ) mellan linjerna.

Beräkna moiré-linjers lutning som funktion av lutningen av lagers linjer

Figur 5. Identisk lutning av lagerlinjer

Överlagringen av två lager med identiskt lutande linjer bildar moirélinjer som lutar i samma vinkel. Figur 5 erhålls från figur 1 med en vertikal klippning. I figur 5 lutar skiktlinjerna och moirélinjerna 10 grader. Eftersom lutningen inte är en rotation, under lutningen bevaras avståndet ( p ) mellan skiktlinjerna längs den vertikala axeln, men det verkliga avståndet ( T ) mellan linjerna (längs en axel vinkelrät mot dessa linjer) ändras. Skillnaden mellan de vertikala perioderna p _b , p _r , och avstånden T _b , T _r visas i diagrammet i figur 8.

Lutningsgraden för skiktlinjerna kan ändras längs den horisontella axeln som bildar kurvor. Överlagringen av två lager med identiskt lutningsmönster bildar moirékurvor med samma lutningsmönster. I figur 6 ändras lutningsgraden för skiktlinjerna gradvis enligt följande sekvens av grader (+30, –30, +30, –30, +30). Skiktperioderna p _b och p _r representerar avstånden mellan kurvorna längs den vertikala axeln. De presenterade formlerna för att beräkna perioden p _m (det vertikala avståndet mellan moirékurvorna) och den optiska hastigheten (längs den vertikala axeln) gäller för figur 6.

Mer intressant är fallet när lutningsgraderna för lagerlinjerna inte är desamma för basen och avslöjande lagren. Figur 7 visar en animering av en överlagringsbild där lutningsgraden för basskiktslinjer är konstant (10 grader), men lutningen för de avslöjande skiktlinjerna pendlar mellan 5 och 15 grader. Perioderna för skikten längs den vertikala axeln p _b och p _r är desamma hela tiden. På motsvarande sätt förblir också perioden p _m (längs den vertikala axeln) beräknad med grundformeln densamma.

Figur 8 hjälper till att beräkna lutningsgraden för moiré-optiska linjer som en funktion av lutningen för de avslöjande linjerna och basskiktslinjerna. Vi ritar lagerlinjerna schematiskt utan att visa deras verkliga tjocklek. De feta linjerna i diagrammet lutade med α _b grader är basskiktslinjerna. De fetstilta linjerna lutade med α _r grader är de avslöjande lagerlinjerna. Basskiktslinjerna är vertikalt åtskilda med ett avstånd lika med pb , och de avslöjande skiktlinjerna är vertikalt åtskilda med ett avstånd lika _med p _r . Avstånden Tb och Tr representerar det verkliga utrymmet mellan basskiktet och avslöjande skiktlinjer, på motsvarande _{sätt .} Skärningspunkterna mellan basens linjer och de avslöjande lagren (markerade i figuren med två pilar) ligger på en central axel av ett lätt moiréband. Den streckade linjen i figur 8 motsvarar axeln för ljusmoirébandet. Lutningsgraden för moirélinjer är därför lutningen α _m för den streckade linjen.

Från figur 8 härleder vi följande två ekvationer:

${\begin{cases}\tan \alpha _{m }={\frac {p_{b}+l\cdot \tan \alpha _{b}}{l}}\\\tan \alpha _{r}={\frac {p_{b}-p_{r }+l\cdot \tan \alpha _{b}}{l}}\end{case}}$

Från dessa ekvationer härleder vi ekvationen för att beräkna lutningen för moirélinjer som en funktion av lutningarna för basskiktet och de avslöjande skiktlinjerna:

$\tan \alpha _{m}={\frac {p_{b}\cdot \tan \ alpha _{r}-p_{r}\cdot \tan \alpha _{b}}{p_{b}-p_{r}}}$

Härleda andra kända formler

_De sanna mönsterperioderna Tb , Tr och Tm (längs axlarna vinkelräta mot mönsterlinjerna) beräknas enligt följande (se figur 8 _{) :}

$T_{b}=p_{b}\cdot \cos \alpha _{b},\ T_{r}=p_{r}\cdot \cos \alpha _{r},\ T_{m}=p_{m}\cdot \cos \alpha _{m}$

Härifrån, med hjälp av formeln för att beräkna tan( α _m ) med perioder p , härleder vi en välkänd formel för att beräkna moirévinkeln α _m med perioder T :

$\alpha _{m}=\arctan vänster({\frac {T_{b}\cdot \sin \alpha _{r}-T_{r}\cdot \sin \alpha _{b}}{T_{b}\cdot \cos \alpha _{r }-T_{r}\cdot \cos \alpha _{b}}}\right)$

Från formeln för beräkning av p _m härleder vi en annan välkänd formel för beräkning av perioden T _m för moirémönster (längs axeln vinkelrät mot moirébanden):

$T_{m}={\frac {T_{b}\ cdot T_{r}}{\sqrt {T_{b}^{2}+T_{r}^{2}-2\cdot T_{b}\cdot T_{r}\cdot \cos(\alpha _{ r}-\alpha _{b})}}}$

I det speciella fallet när T _b = T _r = T , reduceras formeln för perioden T _{m till välkänd formel:}

$T_{m}={\frac {T}{2\cdot \sin \left({\frac {\alpha _{r}- \alpha _{b}}{2}}\right)}}$

Och formeln för att beräkna α _m reduceras till:

$\alpha _{m}=90^{\circ }+{\frac {\alpha _{r}+\alpha _{b}}{2} }$

Den avslöjande linjernas lutning som en funktion av superpositionsbildens linjelutning

Här är ekvationen för att beräkna den avslöjande lagerlinjelutningen α _r för en given baslagerlinjelutning α _b , och en önskad moirélinjelutning α _m :

$\tan \alpha _{r}={\frac {p_{r}}{p_{b}}}\cdot \tan \alpha _{b}+\left(1-{\frac {p_{ r}}{p_{b}}}\right)\cdot \tan \alpha _{m}.$

Figur 9. Moirékurvor med raka basskiktslinjer

För varje given baslagerlinjelutning tillåter denna ekvation oss att erhålla en önskad moirélinjelutning genom att korrekt välja den avslöjande lagerlutningen. I figur 6 visade vi ett exempel där skiktens kurvor följer ett identiskt lutningsmönster som bildar en överlagringsbild med samma lutningsmönster. Lutningsgraderna för skiktens och moirélinjerna ändras längs den horisontella axeln enligt följande sekvens av alternerande gradvärden (+30, –30, +30, –30, +30). I figur 9 får vi samma överlagringsmönster som i figur 6, men med ett basskikt bestående av raka linjer som lutar med –10 grader. Det avslöjande mönstret i figur 9 beräknas genom att interpolera kurvorna till sammankopplade räta linjer, där för varje position längs den horisontella axeln, den avslöjande linjens lutningsvinkel α r beräknas _som en funktion av α _b och α _m enligt ekvationen ovan.

Figur 9 visar att skillnaden mellan lutningsvinklarna för avslöjande linjer och basskiktslinjer måste vara flera gånger mindre än skillnaden mellan lutningsvinklar för moiré- och basskiktslinjer.

Figur 10. Omvänt basskikt och moirélinjer

Ett annat exempel som bildar samma överlagringsmönster som i figur 6 och figur 9 visas i figur 10. I figur 10 erhålls det önskade lutningsmönstret (+30, –30, +30, –30, +30) med användning av ett basskikt med ett inverterat lutningsmönster (–30, +30, –30, +30, –30).

Figur 11. Samma moirékurvor med modifierande lagermönster

Effekt på cirkulära linjer.

Figur 11 visar en animation där vi får en överlagringsbild med ett konstant lutningsmönster av moirélinjer (+30, –30, +30, –30, +30) för att kontinuerligt modifiera par av bas- och avslöjande lager. Basskiktets lutningsmönster ändras gradvis och det avslöjande skiktets lutningsmönster anpassas på motsvarande sätt så att överlagringsbildens lutningsmönster förblir detsamma.

externa länkar

• Line moiré-mönster : Grunderna för line-moiré-mönster och optisk speedup; ekvationer för att beräkna konturerna och hastigheterna för moirékurvor; cirkulära mönster och rotationsrörelser
• Slumpmässig linjemoiré : Aperiodisk slumpmässig linjemoiré
• Mirrors of line moiré introsida: USA , Schweiz