Lie operad

Inom matematiken är Lie-operaden en operad vars algebror är Lie-algebror . Begreppet (minst en version) introducerades av Ginzburg & Kapranov (1994) i deras formulering av Koszul-dualitet .

Definition à la Ginzburg–Kapranov

Fixa ett basfält k och låt ${\mathcal {Lie}}(x_{1},\dots ,x_{n})$ beteckna den fria Lie-algebra över k med generatorer $x_{1},\dots ,x_{n}$ och ${\displaystyle { \mathcal {Lie}}(n)\subset {\mathcal {Lie}}(x_{1},\dots ,x_{n})} delutrymmet som sträcks av alla parentesmonomialer som innehåller varje x i {$ \ ${ i}}$ exakt en gång. Den symmetriska gruppen $S_{n}$ verkar på ${\mathcal {Lie}}(x_{1},\dots ,x_{n} )$ genom permutationer av generatorerna och under den åtgärden är ${\mathcal {Lie}}(n)$ invariant. Den operadiska sammansättningen ges genom att uttryck (med omnumrerade variabler) ersätts med variabler. Sedan ${\mathcal {Lie}}=\{{\mathcal {Lie}}(n)\}$ en operad.

Koszul-Dual

Koszul -dualen av ${\mathcal {Lie}}$ är den kommutativa-ring operad , en operad vars algebror är de kommutativa ringarna över k.

Anteckningar

•   Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail (1994), "Koszul duality for operads", Duke Mathematical Journal , 76 (1): 203–272, doi : 10.1215/S0012-7094-94-07608-4 , MR 1301191

externa länkar

• Todd Trimble, Notes on operads and the Lie operad
• https://ncatlab.org/nlab/show/Lie+operad