Levmore–Cook rörliga knivar
Levmore –Cook rörliga knivar är en procedur för avundsfri kakskärning bland tre partners. Den är uppkallad efter Saul X. Levmore och Elizabeth Early Cook som presenterade den 1981. Den förutsätter att kakan är tvådimensionell . Det kräver en domare, två knivar och fyra snitt, så vissa partners kan få bortkopplade pjäser.
Procedur
Vi namnger partnerna Alice, Bob och Carl.
Till en början skär Alice kakan i tre lika stora delar i hennes ögon. Bob och Carl pekar på var sitt favoritverk.
Enkelt fall : Bob och Carl pekar på olika bitar. Var och en får sin favoritbit och Alice den återstående biten.
Hårt fodral : Bob och Carl pekar på samma pjäs. Säg att detta är bit X och de andra bitarna är Y och Z. Nu tar domaren (helst kan det vara Alice) en kniv och flyttar den horisontellt över bit X, och Alice tar den andra kniven och flyttar den vertikalt över bit X:
- Kniv #1 flyttas horisontellt och kontinuerligt av domaren från vänster om pjäs X till höger. Den delar upp bit X i två delar: den vänstra delen XL och den högra delen XR.
- Kniv #2 flyttas vertikalt och samtidigt av Alice, till vänster om Kniv #1, så att XL delas i två lika delar i hennes ögon: den vänstra övre XLT och den vänstra nedre XLB.
Inledningsvis är XR=X, så för Bob och Carl är den större än Y och Z. Dessutom är XLT och XLB från början tomma så XR är större än de två paren: Y+XLT och Z+XLB.
När Knife #1 rör sig åt höger, krymper XR medan XLT och XLB växer. Vid något tillfälle tror antingen Bob eller Carl att XR är lika med ett av de två paren. Den första som tror att det är jämställdhet , ropar "stopp!" och får sitt valda par, antingen Y+XLT eller Z+XLB. Alice tar emot det andra paret, och den som inte skriker får XR.
Analys
Vi analyserar fallet när Bob ropade "stopp!" och valde paret Y+XLT. Alice får Z+XLB och Carl får XR. Uppdelningen är avundsfri eftersom:
- För Alice, Z>X>XR så att Alice inte avundas Carl. Dessutom, Z=Y och XLB=XLT så att Alice inte avundas Bob.
- För Bob, Y+XLT=XR>Z+XLB, så Bob avundas inte.
- För Carl är XR större än båda paren (eftersom han inte skrek) så han avundas inte.
De andra fallen är analoga .
Varianter
Det är möjligt att låta roparen välja ett av de fyra paren: Y+XLT, Y+XLB, Z+XLT, Z+XLB. Denna modifiering gynnar den som inte skriker, eftersom den som skriker vanligtvis kommer att ropa "stopp" tidigare.
Levmore och Cook presenterade en generalisering av sin procedur för 4 partners. Det visades dock senare att denna generalisering inte fungerar i alla fall.
Se även
Stromquists rörliga knivar använder fyra knivar, men endast två av dem ska skära, så varje partner får en ansluten bit.