Lemoine hexagon

Lemoine-hexagonen, visad med självkorsande anslutning, omgärdad av den första Lemoine-cirkeln

Inom geometrin är Lemoine -hexagonen en cyklisk hexagon med hörn som ges av de sex skärningspunkterna mellan kanterna på en triangel och de tre linjerna som är parallella med kanterna som går genom dess symmedianpunkt . Det finns två definitioner av hexagonen som skiljer sig beroende på i vilken ordning hörnen är anslutna.

Yta och omkrets

Lemoine-hexagonen kan ritas definierad på två sätt, först som en enkel hexagon med hörn vid skärningspunkterna som definierats tidigare. Den andra är en självskärande hexagon med linjerna som går genom symmedianpunkten som tre av kanterna och de andra tre kanterna förenar par av angränsande hörn.

För den enkla hexagonen ritad i en triangel med sidlängderna $a,b,c$ och area $\Delta$ ges omkretsen av

$p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+ 3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

och området vid

$K={\frac {a^{4 }+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\vänster (a^{2}+b^{2}+c^{2}\höger)^{2}}}\Delta$

För den självskärande hexagonen ges omkretsen av

$p={\frac {\left(a+b+c\right)\left( ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

och området vid

$K={\frac {a^{2}b^{2}+b^ {2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\höger)^{2}}} \Delta$

Omringa

I geometri bestämmer fem punkter en konisk , så godtyckliga uppsättningar av sex punkter ligger i allmänhet inte på en konisk sektion, än mindre en cirkel. Ändå är Lemoine-hexagonen (med båda ordningsföljderna) en cyklisk polygon , vilket betyder att alla dess hörn ligger på en gemensam cirkel. Den omslutna cirkeln av Lemoine-hexagonen är känd som den första Lemoine-cirkeln .

• Casey, John (1888), "Lemoines, Tuckers och Taylors cirklar" , En uppföljare till de sex första böckerna av Euklids element, innehållande en enkel introduktion till modern geometri med många exempel ( 5:e upplagan), Dublin: Hodges, Figgis, & Co., s. 179ff .
• Lemoine, É. (1874), "Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un triangle", Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon) (på franska), s. 90–95 .
• Mackay, JS (1895), "Symmedianer of a triangle and their concomitant circles", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society , 14 : 37–103, doi : 10.1017/S0013091500031758 .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Lemoine Hexagon" . MathWorld .