Legendre transform (integral transform)

Den här artikeln handlar om en integraltransform med Legendre-polynom. För involutionstransformen som vanligtvis används inom klassisk mekanik och termodynamik, se Legendre transformation .

Inom matematik är Legendre-transform en integraltransform uppkallad efter matematikern Adrien-Marie Legendre , som använder Legendre-polynomen $P_{n}(x)$ som kärnor i transformationen. Legendre transform är ett specialfall av Jacobi transform .

Legendre-transformen av en funktion $f(x)$ är

${\mathcal {J}}_{n}\{f(x) \}={\tilde {f}}(n)=\int _{-1}^{1}P_{n}(x)\ f(x)\ dx$

Den omvända Legendre-transformen ges av

${\mathcal {J}}_{n} ^{-1}\{{\tilde {f}}(n)\}=f(x)=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+1}{2}} {\tilde {f}}(n)P_{n}(x)$

Associerad Legendre transformation

Associerad Legendre transform definieras som

${\ matematisk {J}}_{n,m}\{f(x)\}={\tilde {f}}(n,m)=\int _{-1}^{1}(1-x^{ 2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)\ f(x)\ dx$

Den omvända Legendre-transformen ges av

${\mathcal {J}}_{n,m}^{-1}\{{\tilde {f }}(n,m)\}=f(x)=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+1}{2}}{\frac {(nm)!}{ (n+m)!}}{\tilde {f}}(n,m)(1-x^{2})^{m/2}P_{n}^{m}(x)$

Några Legendre-transformationspar

$f(x)\,$	${\tilde {f}}(n)\,$
$x^{n}\,$	${\frac {2^{n+1}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}$
$e^{ax}\,$	${\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}I_{n+1/2}(a)$
$e^{iax}\,$	${\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}i^{n}J_{n+1/2}(a)$
$xf(x)\,$	${\frac {1}{2n+1}}[(n+1){ \tilde {f}}(n+1)+n{\tilde {f}}(n-1)]$
$\displaystyle (1-x^{2})^{-1/2}\,$	$\pi P_{n}^{2}(0)$
$[2(ax)]^{-1}\,$	$Q_{n}(a)$
$(1-2ax+a^{2})^{-1/2},\ |a|<1\,$	$2a^{n}(2n+1)^{-1}$
$(1-2ax+a^{2})^{-3/2},\ |a|<1\,$	$2a^{n}(1-a^{2})^{-1}$
$\int _{0}^{a}{\frac {t^{b-1}\,dt}{(1-2xt+t^{2})^{1/2} }},\ |a|<1\ b>0\,$	${\frac {2a^{n+b}}{(2n+1)(n+b)}}$
${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{ dx}}\right]f(x)\,$	$-n(n+1){\tilde {f}}(n)$
$\left\{{\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}) {\frac {d}{dx}}\right]\right\}^{k}f(x)\,$	$(-1)^{k}n^{k}(n+1)^{k}{\tilde {f}} (n)$
${\frac {f(x)}{4}}-{\frac {d}{dx} }\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}\right]f(x)\,$	$\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}{\tilde {f}}(n)$
$\ln(1-x)\,$	${\begin{cases}2(\ln 2-1),&n=0\\-{\frac {2}{n(n+1)}},&n>0\end{fall}}\,$
$f(x)*g(x)\,$	${\tilde {f}}(n){\tilde {g}}(n)$
$\int _{-1}^{x}f(t)\,dt\,$	${\begin{cases}{\tilde { f}}(0)-{\tilde {f}}(1),&n=0\\{\frac {{\tilde {f}}(n-1)-{\tilde {f}}(n+ 1)}{2n+1}},&n>1\end{cases}}\,$
${\frac {d}{dx}}g(x),\ g(x)=\int _ {-1}^{x}f(t)\,dt$	$g(1)-\int _{-1}^{1}g(x){\frac { d}{dx}}P_{n}(x)\,dx$