Le Cams teorem

I sannolikhetsteorin säger Le Cams sats , uppkallad efter Lucien Le Cam (1924 – 2000), följande.

Anta:

• $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ är oberoende slumpvariabler , var och en med en Bernoulli-fördelning (dvs lika med antingen 0 eller 1 ), inte nödvändigtvis identiskt fördelade.
• $\Pr(X_{i}=1)=p_{i},{\text{ för }}i=1,2,3,\ldots .$
• $\lambda _{n}=p_{1}+\cdots +p_{n}.$
• $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.$ (dvs $S_{n}$ följer en Poisson binomialfördelning )

Sedan

$\sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n }} \over k!}\right|<2\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\right).$

Med andra ord har summan ungefär en Poisson-fördelning och ovanstående olikhet begränsar approximationsfelet i termer av det totala variationsavståndet .

Genom att sätta p _i = λ _n / n ser vi att detta generaliserar den vanliga Poisson-gränssatsen .

När $\lambda _{n}$ är stor är en bättre gräns möjlig: $\sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n }} \över k!}\right|<2\left(1\kil {\frac {1}{\lambda }}_{n}\right)\left(\summa _{i=1}^{n }p_{i}^{2}\höger).$

Det är också möjligt att försvaga självständighetskravet.

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Le Cams ojämlikhet" . MathWorld .