Laguerres formel

Laguerres formel (uppkallad efter Edmond Laguerre ) ger den spetsiga vinkeln $\phi$ mellan två riktiga reella linjer, enligt följande:

$\phi =|{\frac {1}{2i}}\operatörsnamn {Logg} \operatörsnamn {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})|$

var:

• $\operatorname {Log}$ är huvudvärdet för den komplexa logaritmen
• $\operatorname {Cr}$ är korsförhållandet mellan fyra kolinjära punkter
• $P_{1}$ och $P_{2}$ är punkterna vid linjernas oändlighet
• $I_{1}$ och $I_{2}$ är skärningspunkterna för den absoluta koniska , med ekvationer $x_{ 0}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$ , med linjen som förenar $P_{1}$ och $P_{2}$ .

Uttrycket mellan vertikala staplar är ett reellt tal.

Laguerre-formeln kan vara användbar i datorseende , eftersom den absoluta koniken har en bild på retinalplanet som är invariant under kameraförskjutningar, och korsförhållandet för fyra kolinjära punkter är detsamma för deras bilder på retinalplanet.

Härledning

Det kan antas att linjerna går genom origo. Vilken isometri som helst lämnar den absoluta koniska invarianten, detta gör det möjligt att ta som första linje x- axeln och den andra linjen som ligger i planet z =0. De homogena koordinaterna för ovanstående fyra punkter är

$(0,1,i,0), \ (0,1,-i,0),\ (0,1,0,0),\ (0,\cos \phi ,\pm \sin \phi ,0),$

respektive. Deras icke-homogena koordinater på oändlighetslinjen i planet z =0 är $i$ , $-i$ , 0, $\pm \sin \phi / \cos \phi$ . (Att byta ut $I_{1}$ och $I_{2}$ ändrar korsförhållandet till dess invers, så formeln för $\phi$ ger samma resultat.) Nu från formeln för korsförhållandet har vi $\operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})=-{\frac {-i\cos \phi \pm \sin \phi }{i \cos \phi \pm \sin \phi }}=e^{\pm 2i\phi }.$

• O. Faugeras. Tredimensionell datorseende. MIT Press, Cambridge, London, 1999.