Laguerre–Pólya klass

Laguerre –Pólya är klassen av hela funktioner som består av de funktioner som lokalt är gränsen för en serie polynom vars rötter alla är reella. Alla funktioner i Laguerre–Pólya-klassen är också av Pólya-klassen .

Produkten av två funktioner i klassen finns också i klassen, så klassen utgör en monoid under funktionsmultiplikationen.

Några egenskaper för en funktion $E(z)$ i klassen Laguerre–Pólya är:

• Alla rötter är verkliga.
• $|E(x+iy)|=|E(x-iy)|$ för x och y real.
• $|E(x+iy)|$ är en icke-minskande funktion av y för positiv y .

En funktion är av Laguerre–Pólya-klassen om och endast om tre villkor är uppfyllda:

• Rötterna är alla verkliga.
• Nollorna som inte är noll, z _n uppfyller

$\sum _{n}{\frac {1}{|z_{n}|^{2}}}$ konvergerar, med nollor räknade enligt deras multiplicitet )

• Funktionen kan uttryckas i form av en Hadamard-produkt

$z^{m}e^{a+bz+cz^{2 }}\prod _{n}\left(1-z/z_{n}\right)\exp(z/z_{n})$

med b och c reell och c icke-positiv. (Det icke-negativa heltal m kommer att vara positivt om E (0)=0. Observera att om antalet nollor är oändligt kan man behöva definiera hur man tar den oändliga produkten.)

Exempel

$\sin(z),\cos(z),\exp(z),\exp(-z),{\text{och }}\exp(-z^{2}).$ exempel

Å andra sidan, $\sinh(z),\cosh(z),{\text{and }}\exp(z ^{2})$ är inte i Laguerre–Pólya-klassen.

Till exempel,

$\exp(-z^{2})=\lim _{n\to \infty }(1-z^{2}/n)^{n}.$

Cosinus kan göras på mer än ett sätt. Här är en serie polynom som har alla verkliga rötter:

$\cos z=\lim _{n\to \infty }(( 1+iz/n)^{n}+(1-iz/n)^{n})/2$

Och här är en annan:

$\cos z=\lim _{n\to \infty }\prod _{ m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{((m-{\frac {1}{2}})\pi )^{2}}}\höger )$

Detta visar uppbyggnaden av Hadamard-produkten för cosinus.

Om vi ​​ersätter z ² med z , har vi en annan funktion i klassen:

$\cos {\sqrt {z}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z}{((m-{\frac {1}{2}})\pi )^{2}}}\ höger)$

Ett annat exempel är den reciproka gammafunktionen 1/Γ(z). Det är gränsen för polynom enligt följande:

$1/\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n!}}(1-(\ln n)z/n)^{n}\prod _{m=0}^{n}(z+m).$