Kronologisk kalkyl

Kronologisk kalkyl är en formalism för analys av flöden av icke-autonoma dynamiska system. Det introducerades av A. Agrachev och R. Gamkrelidze i slutet av 1970-talet. Omfattningen av formalismen är att tillhandahålla lämpliga verktyg för att hantera icke-kommutativa vektorfält och representera deras flöden som oändliga Volterra-serier . Dessa serier, som först introducerades som rent formella expansioner, visas sedan konvergera under några lämpliga antaganden.

Operatörsrepresentation av punkter, vektorfält och diffeomorfismer

Låt $M$ vara ett ändligt dimensionellt jämnt grenrör.

Kronologisk kalkyl fungerar genom att ersätta ett icke-linjärt ändligt dimensionellt objekt, grenröret $M$ , med ett linjärt oändligt dimensionellt, den kommutativa algebra $C^{\infty }(M )$ . Detta leder till följande identifieringar:

• Punkter $q\in M$ identifieras med icke-triviala algebrahomomorfismer

${\hat {q}}:C^{\infty }(M)\to \mathbb {R}$ definieras av ${\hat {q}}(a)=a(q)$ .

• Diffeomorfismer $P:M\to M$ identifieras med $C^{\infty }(M)$ -automorfismer ${\hat {P}}:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ definieras av $({\hat {P}}a)(q)=a(P(q))$ .
• Tangentvektorer $v\in T_{q}M$ identifieras med linjära funktionaler ${\hat {v}}:C^{\infty }(M)\to \mathbb {R}$ som uppfyller Leibnitz-regeln ${\displaystyle {\hat {v }}(ab)={\hat {v}}(a)b(q)+a(q){\hat {v}}(b)} vid q {\$ displaystyle $}$ .
• Släta vektorfält $V\in {\text{Vec}}(M)$ identifieras med linjära operatorer ${\ hatt {V}}:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$

som uppfyller Leibnitz-regeln ${\hat {V}}(ab)={\hat {V}}(a)b+ a{\hat {V}}(b)$ .

identifieras tangentvektorn ${\displaystyle V(P(q))} med operatorn$$q\circ P\circ V$ .

Vi betraktar på $C^{\infty }(M)$ Whitney -topologin , definierad av familjen seminormer

$\displaystyle {\|a\|_{s,K}:=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{\alpha }a}{\partial q^ {\alpha }}}(q)\right|\,\mid q\in K,\,\alpha \in \mathbb {N} ^{{\rm {dim}}(M)},\;|\ alfa |\leq s\right\},}$

Regularitetsegenskaper för familjer av operatorer på $C^{\infty }(M)$ kan definieras i svag mening enligt följande: $t\to A_{t}$ uppfyller en viss regularitetsegenskap om familjen $t\to A_{t}(a)$ uppfyller samma egenskap, för varje $a\in C ^{\infty }(M)$ . En svag föreställning om konvergens av operatorer på $C^{\infty }(M)$ kan definieras på liknande sätt.

Volterra expansion och högerkronologisk exponentiell

Betrakta ett komplett icke-autonomt vektorfält $(t,q)\mapsto X_{t}(q)$ på $M$ , jämnt med avseende på $q$ och mätbar med avseende på $t$ . Lösningar till ${\displaystyle {\dot {q}}(t)=X_{t}(q(t))} ,$ som i operatorn formalism lyder

${\frac {d}{dt}}q(t)=q(t)\circ X_{t},$

 

 

 

 

()

definiera flödet av $X_{t}$ , dvs en familj av diffeomorfismer $t\to P^{t}$ , $P^{0} =\mathrm {Id}$ . Flödet uppfyller ekvationen

${\frac {d}{dt}}P^{t}=P^{t}\circ X_{t},\;P^{0}=\mathrm {Id} .$

 

 

 

 

()

Skriv om 2 som en Volterra integralekvation $P^{t}=\mathrm {Id} +\int _{0}^{t} P^{\tau _{1}}\circ X_{\tau _{1}}d\tau _{1}$ .

Genom att upprepa proceduren en gång till kommer vi fram till

${\begin{aligned}P^{t}&=\mathrm {Id} +\int _{0}^{t}P^{\tau _{1}}\circ X_{\tau _{ 1}}d\tau _{1}=\mathrm {Id} +\int _{0}^{t}\left(\mathrm {Id} +\int _{0}^{\tau _{1} }P^{\tau _{2}}\circ X_{\tau _{2}}d\tau _{2}\right)\circ X_{\tau _{1}}d\tau _{1} \\&=\mathrm {Id} +\int _{0}^{t}X_{\tau _{1}}d\tau _{1}+\int _{0}^{t}\int _ {0}^{\tau _{1}}P^{\tau _{2}}\circ X_{\tau _{2}}\circ X_{\tau _{1}}d\tau _{2 }d\tau _{1}.\end{aligned}}$

På så sätt motiverar vi notationen, åtminstone på det formella planet, för den rätta kronologiska exponentialen

$\$

 

 

 

 

()

där $\Delta _{n}(t)=\{(\ _{1},\dots ,\tau _{n})\in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,0\leq \tau _{1}\leq \dots \leq \tau _ {n}\leq t\}$ betecknar standard $n$ -dimensionell simplex.

Tyvärr konvergerar den här serien aldrig på $C^{\infty }(M)$ ; faktiskt, som en konsekvens av Borels lemma , finns det alltid en jämn funktion $a\in C^{\infty }(M)$ på vilken den divergerar. Ändå delsumman

$\displaystyle {S_{m}(t )=\mathrm {Id} +\summa _{n=1}^{m}\int \dots \int _{\Delta _{n}(t)}\ X_{\tau _{n}}\circ \dots \circ X_{\tau _{1}}d\tau _{n}\dots d\tau _{1}}$

kan användas för att erhålla asymptotiken för den rätta kronologiska exponentialen: det kan faktiskt bevisas att för varje ${\displaystyle a\in C^{\infty }(M)} ,$ s $\ displaystyle s\geq 0}$ och $K\subset M$ kompakt, vi har

$\left\|\left({\overrightarrow {\mathrm {exp} }} \int _{0}^{t}X_{\tau}d\tau -S_{m}(t)\right)(a)\right\|_{s,K}\leq Ce^{C\int _{0}^{t}\|X_{\tau }\|_{s,K'}d\tau }{\frac {1}{m!}}\left(\int _{0}^{ t}\|X_{\tau }\|_{s+m-1,K'}d\tau \right)^{m}\|a\|_{s+m,K'},$

 

 

 

 

()

för vissa $C>0$ , där $K'=\cup _{s\in [0,t]}P^{ s}(K)$ . Det kan också bevisas att den asymptotiska serien $S_{m}(t)$ konvergerar, som $m\to +\infty$ , på vilket som helst normerat delrum $L\subset C^{\infty }(M)$ på vilken $X_{t}$ är väldefinierad och avgränsad, dvs.

$\displaystyle {X_{t}(L)\subset L,\quad \|X_{t}\|_{L}:=\sup \left\{\|X_{t}(a)\| _{L}\,\mid \,a\in L,\,\|a\|_{L}\leq 1\right\}<+\infty .}$

Slutligen är det värt att notera att en analog diskussion kan utvecklas för den vänstra kronologiska exponentialen ${\displaystyle Q^{t}} ,$ som uppfyller differentialekvationen

$\displaystyle {{\frac {d}{dt}}Q^{t}=X_{t}\circ Q^{t},\;Q^{0}=\mathrm {Id} .}$

Formel för variation av konstanter

Betrakta den störda ODE

$\displaystyle {{\frac {d}{dt}}P^{t}=P^{t}\circ (X_{t}+Y_{t}),\quad P^{0}=\ mathrm {Id} .}$

Vi skulle vilja representera motsvarande flöde, ${\displaystyle P^{t}={\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _ {0}^{t}(X_{\tau }+Y_{\tau })d\tau } ,$ som sammansättningen av det ursprungliga flödet ${\overrightarrow {\ mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}X_{\tau }d\tau$ med en lämplig störning, det vill säga vi skulle vilja skriva ett uttryck av formen

$\displaystyle {P^{t}={\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}(X_{\tau }+Y_{\tau })d\tau = R^{t}\circ {\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}X_{\tau }d\tau .}$

För detta ändamål lägger vi märke till att verkan av en diffeomorfism $S$ på $M$ på ett jämnt vektorfält ${\displaystyle W} ,$ uttryckt som en härledning på $C^{\infty }(M)$ , ges av formeln

$\displaystyle {S_{*}W=S^{-1}\circ W\circ S=\mathrm {Ad} S^{-1}(W).}$

I synnerhet om $S^{t}={\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}V_{\ tau }d\tau$ , vi har

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}(\mathrm {Ad} S^{t})W&={\frac {d}{dt}}S^{t}\circ W\circ S^{-t}=S^{t}\circ \left(V_{t}\circ WW\circ V_{t}\right)\circ S^{-t}\\&=\mathrm {Ad} S^{t}[V_{t},W]=(\mathrm {Ad} S^{t})\mathrm {ad} V_{t}W.\end{aligned}}$

Detta motiverar notationen

$\displaystyle {\mathrm {Ad} S^{t}={\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}\mathrm {ad} V_{\tau }d\ tau .}$

Nu skriver vi

$\displaystyle {{\frac {d }{dt}}P^{t}=P^{t}\circ (X_{t}+Y_{t})=P^{t}\circ X_{t}+R^{t}\circ { \overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}X_{\tau }d\tau \circ Y_{t}}$

och

$\displaystyle {{\frac {d}{dt}}P^{t}={\dot {R}}^{t}\circ {\overrightarrow {\mathrm { exp} }}\int _{0}^{t}X_{\tau}d\tau +R^{t}\circ {\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t }X_{\tau }d\tau \circ X_{t}={\dot {R}}^{t}\circ {\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t} X_{\tau }d\tau +P^{t}\circ X_{t}}$

vilket innebär det

$\displaystyle {{\dot {R}}^{t}=R^{t}\circ \left({\overrightarrow {\mathrm {exp}}}\int _{0}^{t}\ mathrm {ad} X_{\tau }d\tau \right)Y_{t},\quad R^{0}=\mathrm {Id} .}$

Eftersom denna ODE har en unik lösning kan vi skriva

$\displaystyle {R^{t}={\overrightarrow {\mathrm {exp} } }\int _{0}^{t}\left({\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{\tau }\mathrm {ad} X_{\theta }d\theta \ höger)Y_{\tau }d\tau ,}$

och kommer till det slutliga uttrycket, kallat variationen av konstanter formel :

${\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}(X_{\tau }+Y_{\tau })d\tau ={\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}\left({\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{\tau }\mathrm {ad} X_{\theta }d\theta \right)Y_{\tau }d\tau \circ {\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}X_{\tau }d\tau .$

 

 

 

 

()

Slutligen, i kraft av likheten ${\displaystyle (\mathrm {Ad} P){ \overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}V_{\tau }d\tau ={\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t} (\mathrm {Ad} P)V_{\tau }d\tau } ,$ får vi en andra version av formeln för variationen av konstanter, med det opåverkade flödet ${\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}X_{\tau }d\tau$ till vänster, det vill säga,

${\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}(X_{\tau }+Y_{\tau })d\tau ={\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}X_{\tau }d\tau \circ {\overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}\left({\overrightarrow { \mathrm {exp} }}\int _{t}^{\tau }\mathrm {ad} X_{\theta }d\theta \right)Y_{\tau }d\tau .$

 

 

 

 

()

Källor

•   Agrachev, Andrei A.; Sachkov, Yuri L. (2004). "Element av kronologisk kalkyl". Styrteori från geometrisk synvinkel . Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 84. Springer. ISBN 9783662064047 .
• Agrachev, Andrei A.; Gamkrelidze, Revaz V. (1978). "Exponentiell representation av flöden och en kronologisk uppräkning. (ryska)". Matta. Sb . Ny serie. 107 (149): 467–532, 639.
• Agrachev, Andrei A.; Gamkrelidze, Revaz V. (1980). "Kronologiska algebror och ickestationära vektorfält. (ryska)". Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Informatsii . 11 : 135–176.
• Kawski, Matthias; Sussmann, Héctor (1997). Icke-kommutativa potensserier och formella Lie-algebraiska tekniker i olinjär kontrollteori . European Consort. Matematik. Industri. Teubner, Stuttgart. s. 111–128.
• Kawski, Matthias (2002). Kombinatoriken för olinjär styrbarhet och icke-pendlande flöden . ICTP Lect. Anteckningar, VIII. Abdus Salam Int. Cent. Teoret. Phys., Trieste. s. 223–311.
• Sarychev, Andrey V. (2006). "Lögnförlängningar av olinjära styrsystem". Journal of Mathematical Sciences . 135 (4): 3195–3223. doi : 10.1007/s10958-006-0152-4 .