Krasners lemma

Inom talteorin , mer specifikt i p -adisk analys , är Krasners lemma ett grundläggande resultat som relaterar topologin för ett komplett icke-arkimediskt fält till dess algebraiska förlängningar .

Påstående

Låt K vara ett fullständigt icke-arkimediskt fält och låt K vara en separerbar stängning av K . Givet ett element α i K , beteckna dess Galois-konjugat med α ₂ , ..., α _n . Krasners lemma säger:

om ett element β i K är sådant att

$\left|\alpha -\beta \right|<\left|\alpha -\alpha _{i}\right|{\text{ för }}i=2,\ prickar ,n$

sedan K ( α ) ⊆ K ( β ).

Ansökningar

• Krasners lemma kan användas för att visa att ${\mathfrak {p}}$ -adic komplettering och separerbar stängning av globala fält pendlar. Med andra ord, givet ${\mathfrak {p}}$ ett primtal för ett globalt fält L , är den separerbara stängningen av ${\mathfrak {p}}$ -adic komplettering av L lika med ${\overline {\mathfrak {p}}}$ -adic fullbordande av den separerbara stängningen av L (där ${\overline {\mathfrak {p}}}$ är ett primtal av L ovan ${\mathfrak {p}}$ ).
• En annan tillämpning är att bevisa att C _p - fullbordandet av den algebraiska stängningen av Q _p - är algebraiskt stängd .

Generalisering

Krasners lemma har följande generalisering. Betrakta ett moniskt polynom

$f^{*}=\prod _{k=1}^{n}(X-\alpha _{k}^{*})$

av grad n > 1 med koefficienter i ett Henseliskt fält ( K , v ) och rötter i den algebraiska slutningen K. Låt I och J vara två disjunkta, icke-tomma mängder med union {1,..., n }. Tänk dessutom på ett polynom

$g=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i})$

med koefficienter och rötter i K . Antar

$\forall i\in I\forall j\in J:v(\alpha _{i}-\alpha _{i}^{*})>v(\alpha _{i}^{*}- \alpha _{j}^{*}).$

Därefter koefficienterna för polynomen

$g^{*}:=\prod _{i\in I} (X-\alpha _{i}^{*}),\ h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-\alpha _{j}^{*})$

ingår i fältförlängningen av K genererad av koefficienterna för g . (Det ursprungliga Krasners lemma motsvarar situationen där g har grad 1.)

Anteckningar

•    Brink, David (2006). "Nytt ljus på Hensels Lemma" . Expositiones Mathematicae . 24 (4): 291–306. doi : 10.1016/j.exmath.2006.01.002 . ISSN 0723-0869 . Zbl 1142.12304 .
•    Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volym II: Fält med struktur, algebror och avancerade ämnen . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-72487-4 . Zbl 1130.12001 .
•    Narkiewicz, Władysław (2004). Elementär och analytisk teori för algebraiska tal . Springer Monographs in Mathematics (3:e upplagan). Berlin: Springer-Verlag . sid. 206. ISBN 3-540-21902-1 . Zbl 1159.11039 .
•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323 (andra upplagan), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-37888-4 , MR 2392026 , Zbl 1136.11001