Koppling (sannolikhet)

I sannolikhetsteorin är koppling en bevisteknik som gör att man kan jämföra två orelaterade slumpvariabler (fördelningar) $X$ och $Y$ genom att skapa en slumpmässig vektor $W$ vars marginalfördelningar motsvarar $X$ respektive $Y.$ Valet av $W$ är generellt sett inte unikt, och hela idén med "koppling" handlar om att göra ett sådant val så att $X$ och $Y$ kan relateras på ett särskilt önskvärt sätt.

Definition

Med hjälp av standardformalismen för sannolikhet, låt $X_{1}$ och $X_{2}$ vara två slumpvariabler definierade på sannolikhetsutrymmen $(\Omega _{1},F_{1},P_{1})$ och $(\Omega _{2},F_{2},P_{2} )$ . Då är en koppling av $X_{1}$ och $X_{2}$ ett nytt sannolikhetsutrymme $(\Omega ,F,P)$ över där det finns två slumpvariabler $Y_{1}$ och $Y_{2}$ så att $Y_{1}$ har samma fördelning som $X_ {1}$ medan $Y_{2}$ har samma fördelning som $X_{2}$ .

Ett intressant fall är när $Y_{1}$ och $Y_{2}$ inte är oberoende.

Exempel

En spontan promenad

Antag att två partiklar A och B utför en enkel slumpmässig vandring i två dimensioner, men de utgår från olika punkter. Det enklaste sättet att koppla ihop dem är helt enkelt att tvinga dem att gå tillsammans. För varje steg, om A går upp, gör B också , om A rör sig till vänster, gör B också , etc. Således förblir skillnaden mellan de två partiklarna fast. När det A gör den en perfekt slumpmässig promenad, medan B är copycat. B har den motsatta uppfattningen, dvs att det i själva verket är originalet och att A är kopian. Och på sätt och vis har de båda rätt. för en vanlig slumpmässig promenad, kommer också att gälla för både A och B.

Betrakta nu ett mer utarbetat exempel. Antag att A börjar från punkten (0,0) och B från (10,10). Koppla ihop dem först så att de går ihop i vertikal riktning, dvs om A går upp så gör B också det, men är spegelbilder i horisontell riktning dvs om A går åt vänster så går B åt höger och vice versa. Vi fortsätter denna koppling tills A och B har samma horisontella koordinat, eller med andra ord ligger på den vertikala linjen (5, y ). Om de aldrig träffas fortsätter vi denna process för evigt (sannolikheten för det är dock noll). Efter denna händelse ändrar vi kopplingsregeln. Vi låter dem gå tillsammans i horisontell riktning, men i en spegelbild härska i vertikal riktning. Vi fortsätter med denna regel tills de möts i vertikal riktning också (om de gör det), och från den punkten låter vi dem bara gå tillsammans.

Detta är en koppling i den meningen att ingen av partiklarna, taget på egen hand, kan "känna" något vi gjorde. Varken det faktum att den andra partikeln följer den på ett eller annat sätt, eller det faktum att vi ändrade kopplingsregeln eller när vi gjorde det. Varje partikel utför en enkel slumpmässig promenad. Och ändå tvingar vår kopplingsregel dem att träffas nästan säkert och fortsätta från den punkten tillsammans permanent. Detta gör att man kan bevisa många intressanta resultat som säger att "i det långa loppet" är det inte viktigt var du började för att få just det resultatet.

Partiska mynt

Antag två snedställda mynt, det första med sannolikhet p att vända upp huvudena och det andra med sannolikhet q > p att vända upp huvudena. Intuitivt, om båda mynten kastas lika många gånger, bör vi förvänta oss att det första myntet får färre huvuden än det andra. Närmare bestämt, för varje fast k , bör sannolikheten att det första myntet producerar åtminstone k huvuden vara mindre än sannolikheten att det andra myntet producerar åtminstone k huvuden. Det kan dock vara svårt att bevisa ett sådant faktum med ett standardräkneargument. Kopplingen kringgår enkelt detta problem.

Låt X ₁ , X ₂ , ..., X _n vara indikatorvariabler för huvuden i en sekvens av vändningar av det första myntet. För det andra myntet, definiera en ny sekvens Y ₁ , Y ₂ , ..., Y _n så att

om X _i = 1, då Y _i = 1,
om X _i = 0, så är Y _i = 1 med sannolikhet ( q − p )/(1 − p ).

Sedan har sekvensen av Y _i exakt sannolikhetsfördelningen för kast som görs med det andra myntet. Men eftersom Y _i beror på X _i , är det nu möjligt att jämföra de två mynten. Det vill säga för alla k ≤ n

\Pr(X_{1}+\cdots +X_{n}>k)\leq \Pr(Y_{1}+\cdots +Y_{n}>k).

Se även

Copula (sannolikhetsteori)

Anteckningar

Lindvall, T. (1992). Föreläsningar om kopplingsmetoden . New York: Wiley. ISBN 0-471-54025-0 .
Thorisson, H. (2000). Koppling, stationaritet och regenerering . New York: Springer.