Koornwinder polynom

Inom matematiken är Macdonald-Koornwinder-polynom (även kallade Koornwinder-polynom ) en familj av ortogonala polynom i flera variabler, introducerade av Koornwinder ( 1992 ) och IG Macdonald (1987, viktiga specialfall), som generaliserar Askey-Wilson-polynomen . De är Macdonald-polynomen som är knutna till det icke-reducerade affina rotsystemet av typen ( C
^∨ _n , C _n ), och uppfyller i synnerhet ( van Diejen 1996 , Sahi 1999 ) analoger till Macdonalds gissningar ( Macdonald 2003 , kapitel 5.3). Dessutom visade Jan Felipe van Diejen att Macdonald-polynomen associerade med vilket klassiskt rotsystem som helst kan uttryckas som gränser eller specialfall av Macdonald-Koornwinder-polynom och fann kompletta uppsättningar av konkreta pendlingsdifferensoperatorer diagonaliserade av dem (van Diejen 1995 ) . Dessutom finns det en stor klass av intressanta familjer av multivariabla ortogonala polynom associerade med klassiska rotsystem som är degenererade fall av Macdonald-Koornwinder polynomen ( van Diejen 1999 ). Macdonald-Koornwinder-polynomen har också studerats med hjälp av affina Hecke-algebror ( Noumi 1995 , Sahi 1999 , Macdonald 2003 ).

Macdonald-Koornwinder-polynomet i n variabler associerade med partitionen λ är den unika Laurent- polynominvarianten under permutation och inversion av variabler, med ledande monomial x ^λ , och ortogonal med avseende på densiteten

$\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {(x_ {i}x_{j},x_{i}/x_{j},x_{j}/x_{i},1/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}{(tx_ {i}x_{j},tx_{i}/x_{j},tx_{j}/x_{i},t/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(x_{i}^{2},1/x_{i}^{2};q)_{\infty }}{(ax_{i}, a/x_{i},bx_{i},b/x_{i},cx_{i},c/x_{i},dx_{i},d/x_{i};q)_{\infty } }}$

på enhetens torus

$|x_{1}|=|x_{2}|=\cdots |x_{n}|=1$ ,

där parametrarna uppfyller begränsningarna

$|a|,|b|,|c|,|d|,|q|,|t|<1,$

och ( x ; q ) _∞ anger den oändliga q-Pochhammer-symbolen . Här betyder ledande monomial x ^λ att μ≤λ för alla termer x ^μ med koefficient som inte är noll, där μ≤λ om och endast om μ ₁ ≤λ ₁ , μ ₁ +μ ₂ ≤λ ₁ +λ ₂ , …, μ ₁ + …+μ _n ≤λ ₁ +…+λ _n . Under ytterligare begränsningar att q och t är reella och att a , b , c , d är reella eller, om komplexa, förekommer i konjugerade par, är den givna densiteten positiv.

För några föreläsningsanteckningar om Macdonald-Koornwinder-polynom ur ett Hecke-algebraperspektiv se till exempel ( Stokman 2004) .

•   van Diejen, Jan F. (1995), "Commuting difference operators with polynomial eigenfunctions", Compositio Mathematica , 95 : 183–233, arXiv : funct-an/9306002 , MR 1313873
•    van Diejen, Jan F. (1996), "Self-dual Koornwinder-Macdonald polynomials", Inventiones Mathematicae , 126 (2): 319–339, arXiv : q-alg/9507033 , Bibcode : 1996.InMat.19V , .doMat.19V . : 10.1007/s002220050102 , MR 1411136 , S2CID 17405644
•    van Diejen, Jan F. (1999), "Egenskaper hos vissa familjer av hypergeometriska ortogonala polynom i flera variabler", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 351 : 233–70, doi : 10.1090/S0002-9947-99-02000-0 , MR 1433128 , S2CID 16214156
•   Koornwinder, Tom H. (1992), "Askey-Wilson polynomials for root systems of type BC", Contemporary Mathematics , 138 : 189–204, doi : 10.1090/conm/138/1199128 , MR 119922C8 , 48912C8 , 4892228  
•    Macdonald, IG (2003), Affine Hecke algebras and ortogonal polynomials , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 157, Cambridge: Cambridge University Press, s. x+175, ISBN 978-0-521-82472-9 , MR 1976581
•   Noumi, M. (1995), "Macdonald-Koornwinder polynomials and affine Hecke rings", Various Aspects of Hypergeometric Functions , Surikaisekikenkyusho Kokyuroku (på japanska), vol. 919, s. 44–55, MR 1388325
•     Sahi, S. (1999), "Nonsymmetric Koornwinder polynomials and duality", Annals of Mathematics , Second Series, 150 (1): 267–282, arXiv : q -alg/9710032 , doi : 10.2307/121STOR 1 MR 2 121 1715325 , S2CID 8958999
•   Stokman, Jasper V. (2004), "Lecture notes on Koornwinder polynomials", Laredo Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions , Adv. Teori Spec. Funktion. Orthogonal Polynomials, Hauppauge, NY: Nova Science Publishers, s. 145–207, MR 2085855