Konstruktion av en oreducerbar Markov-kedja i Ising-modellen

Inom tillämpad matematik är konstruktionen av en irreducerbar Markov-kedja i Ising-modellen det första steget för att övervinna ett beräkningshinder som man stöter på när en Markov-kedja Monte Carlo- metod används för att få ett exakt passformstest för den finita Ising-modellen .

Ising -modellen användes för att studera magnetiska fasövergångar i början, och nu är den en av de mest kända modellerna av interagerande system.

Markov baser

Varje heltalsvektor ${1}\times \cdots \times N_{d}}} ,$ N_ kan skrivas unikt som $z=z^{+}-z^{-}$ , där $z^{+}$ och $z^{-}$ är icke-negativa vektorer . En Markov-bas för Ising-modellen är en mängd ${\widetilde {Z}}\subset Z^{N_{1}\times \cdots \times N_{d} }$ av heltalsvektorer så att:

(i) För alla $z\in {\widetilde {Z}}$ måste det finnas $T_{1}(z^ {+})=T_{1}(z^{-})$ och $T_{2}(z^{+})=T_{2} (z^{-})$ .

(ii) För alla $a,b\in Z_{>0}$ och alla $x,y\in S(a,b )$ , det finns alltid $z_{1},\ldots ,z_{k}\in {\widetilde {Z}}$ uppfyller

$y=x+\summa _{i=1}^{k}z_{i}$

och

$x+\sum _{i=1}^{l}z_{i}\in S(a,b)$

för l = 1,..., k .

Elementet i ${\widetilde {Z}}$ flyttas. Sedan genom att använda Metropolis–Hastings-algoritmen kan vi få en aperiodisk , reversibel och irreducerbar Markov-kedja.

Den artikel som publicerades av P.DIACONIS OCH B.STURMFELS 1998 "Algebraiska algoritmer för sampling från villkorliga distributioner" visar att en Markov-bas kan definieras algebraiskt som i Ising-modellen

Sedan av tidningen publicerad av P.DIACONIS OCH B.STURMFELS 1998, alla generatoraggregat för det ideala $I:=\ker({\psi }*{\phi } )$ är en Markov-bas för Ising-modellen.

Konstruktion av en oreducerbar Markov-kedja

Vi kan inte få ett enhetligt sampel från $S(a,b)$ och leda till ett felaktigt p-värde . Så i det följande kommer vi att visa hur man modifierar algoritmen som nämns i artikeln för att få den irreducerbara Markov-kedjan i Ising-modellen.

Ett enkelt byte definieras som $z\in Z^{N_{1}\times \cdots \times N_{d}}$ av formen $z=e_{i}-e_{j}$ , där $e_{i}$ är den kanoniska grundvektorn för $z\ i Z^{N_{1}\times \cdots \times N_{d}}$ Enkla byten ändrar tillstånden för två gitterpunkter i y .

Z betecknar uppsättningen av provbyten. $S(a,b)$ är två konfigurationer $\displaystyle y',y\in S(a,b)}$ S -anslutna med Z , om det finns en väg mellan $y$ och $y'$ i $S(a,b)$ som består av enkla byten $z\in Z$ , vilket betyder att det finns $z_{1},\ldots ,z_{k}\in Z$ så att

$y'=y+\sum _{i=1}^{k}z_{i}$

med

$y+\sum _{i=1}^{l}z_{i}\in S(a,b)$

för l = 1,..., k

Algoritmen kan beskrivas som:

(i) Börja med Markov-kedjan i en konfiguration $y\in S(a,b)$

(ii) Välj $z\in Z$ jämnt slumpmässigt och låt $y'=y+z$ .

(iii) Acceptera $y'$ om $y'\in S(a,b)$ ; annars förbli i y .

Även om den resulterande Markov-kedjan är möjlig inte kan lämna initialtillstånd, uppstår inte problemet för den 1-dimensionella Ising-modellen som vi kommer att introducera i det följande. I hög dimension kan vi övervinna detta problem genom att använda Metropolis-Hastings-algoritmen i det minsta utökade sampelutrymmet $S^{\star }(a,b)$

Oreducerbarhet i den 1-dimensionella Ising-modellen

Innan vi bevisar irreducerbarheten i 1-dimensionell Ising-modell presenterar vi två lemman nedan:

Lemma 1: Max-singleton-konfigurationen av $S(a,b)$ för den 1-dimensionella Ising-modellen är unik (upp till platsen för dess anslutna komponenter) och består av b /2 − 1 singelton och en ansluten komponent i storleken a − b /2 + 1.

Lemma 2: För $a,b\in N$ och $y\in S(a,b)$ , låt $y^{\star }S(a,b)$ betecknar den unika max-singleton-konfigurationen. Det finns en sekvens $z_{1},\ldots ,z_{k}\in Z$ så att:

$y^{\star }=y+\summa _{i=1}^{k}z_{i}$

och

$y+\sum _{i=1}^{l}z_{i}\in S(a,b)$

för l = 1,..., k

Eftersom $S^{\star }(a,b)$ är det minsta utökade sampelutrymmet, som innehåller $S(a,b)$ . Och vilka två konfigurationer som helst i $S^{\star }(a,b )$$\displaystyle S(a,b)}$ kan kopplas samman med enkla byten Z utan att lämna . Detta kan bevisas med det lemma vi presenterar ovan. Så vi får irreducerbarheten hos Markov-kedjan baserat på enkla byten för den 1-dimensionella Ising-modellen.

Slutsats

Även om vi bara visar oreducerbarheten av Markov-kedjan baserat på enkla byten för den 1-dimensionella Ising-modellen, kan vi få samma slutsats av en 2-dimensionell eller högre dimension Ising-modellen.