Konstant ackordssats

konstant ackordlängd: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

konstant diameter längd: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

Konstantackordsatsen är ett uttalande i elementär geometri om en egenskap hos vissa ackord i två cirklar som skär varandra .

Cirklarna $k_{1}$ och $k_{2}$ skär varandra i punkterna $P$ och $Q$ . $Z_{1}$ är en godtycklig punkt på $k_{1}$ som skiljer sig från $P$ och $Q$ . Linjerna $Z_{1}P$ och $Z_{1}Q$ skär cirkeln $k_{2}$ i $P_{1}$ och $Q_{1}$ . Konstantackordsatsen säger då att längden på ackordet $P_{1}Q_{1}$ i $k_{2}$ inte beror på platsen för ${\ displaystyle Z_{1}}$ på $k_{1}$ , med andra ord är längden konstant.

Satsen förblir giltig när $Z_{1}$ sammanfaller med $P$ eller $Q$ , förutsatt att man ersätter den då odefinierade linjen $Z_{1}P$ eller $Z_{1}Q$ med tangenten på $k_{1}$ vid $Z_{1}$ .

En liknande teorem finns i tre dimensioner för skärningspunkten mellan två sfärer . Sfärerna $k_{1}$ och $k_{2}$ skär varandra i cirkeln $k_{s}$ . $Z_{1}$ är en godtycklig punkt på ytan av den första sfären $k_{1}$ , det vill säga inte på skärningscirkeln $k_{s}$ . Den förlängda konen skapad av $k_{s}$ och $Z_{1}$ skär den andra sfären $k_{2}$ i en cirkel. Längden på diametern på denna cirkel är konstant, det vill säga den beror inte på platsen för $Z_{1}$ på $k_{1}$ .

Nathan Altshiller Court beskrev konstant ackordssatsen 1925 i artikeln sur deux cercles secants för den belgiska matematiktidskriften Mathesis . Åtta år senare publicerade han On Two Intersecting Spheres i American Mathematical Monthly , som innehöll den 3-dimensionella versionen. Senare ingick den i flera läroböcker, som Ross Honsbergers Mathematical Morsels och Roger B. Nelsens Proof Without Words II , där den gavs som ett problem, eller den tyska geometriläroboken Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten av Halbeisen, Hungerbühler och Läuchli , där det gavs som ett teorem.

•   Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie . Springer 2016, ISBN 9783662530344 , sid. 16 (tyska)
• Roger B. Nelsen: Bevis utan ord II . MAA, 2000, sid. 29
•   Ross Honsberger : Matematiska bitar . MAA, 1979, ISBN 978-0883853030 , s. 126–127
• Nathan Altshiller Court : På två korsande sfärer. The American Mathematical Monthly, Band 40, Nr. 5, 1933, s. 265–269 ( JSTOR )
• Nathan Altshiller-Court: sur deux cercles secants . Mathesis, Band 39, 1925, sid. 453 (franska)

externa länkar

• konstant ackordssats som problem på cut-the-knot.org