Kolmogorovs tvåseriesats

I sannolikhetsteorin är Kolmogorovs tvåseriesats ett resultat om konvergensen av slumpmässiga serier . Det följer av Kolmogorovs ojämlikhet och används i ett bevis på de stora talens starka lag .

Uttalande av satsen

Låt $\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ vara oberoende slumpvariabler med förväntade värden ${ \displaystyle \mathbf {E} \left[X_{n}\right]=\mu _{n}}$ och varianser $\mathbf {Var} \left(X_ {n}\right)=\sigma _{n}^{2}$ , så att $\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}$ konvergerar i ℝ och $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}$ konvergerar i ℝ. Då $\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}$ nästan säkert i ℝ .

Bevis

Antag WLOG $\mu _{n}=0$ . Ange ${\displaystyle S_{N}=\summa _{n=1}^{N}X_{n}} ,$ och vi kommer att se att $\limsup _{N}S_{N}-\liminf _{N}S_{N}=0$ med sannolikhet 1.

För varje $m\in \mathbb {N}$ ,

$$\limsup _{N\to \infty }S_{N}-\liminf _{N\to \infty }S_{N}=\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N} -S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\leq 2\max _{k\in \mathbb {N} } \left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|$$

Således, för varje $m\in \mathbb {N}$ och $\epsilon >0$ ,

$${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N }-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\geq \epsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(2\max _{k\in \mathbb {N}}\left|\summa _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq \epsilon \ \right)\ \&=\mathbb {P} \left(\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\summa _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq {\frac {\epsilon }{2}}\ \right)\\&\leq \limsup _{N\to \infty }4\epsilon ^{-2}\sum _{i=m+1}^{ m+N}\sigma _{i}^{2}\\&=4\epsilon ^{-2}\lim _{N\to \infty }\sum _{i=m+1}^{m+ N}\sigma _{i}^{2}\end{aligned}}$$

Medan den andra ojämlikheten beror på Kolmogorovs ojämlikhet .

Genom antagandet att $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}$ konvergerar, följer det att den sista termen tenderar till 0 när $m\to \infty$ , för varje godtycklig $\epsilon >0$ .

• Durrett, Rick. Sannolikhet: Teori och exempel. Duxbury avancerade serie, tredje upplagan, Thomson Brooks/Cole, 2005, avsnitt 1.8, s. 60–69.
• M. Loève, Sannolikhetsteori , Princeton Univ. Press (1963) s. Sect. 16.3
• W. Feller, An introduction to probability theory and its applications , 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9