Koecher–Vinbergs sats

I operatoralgebra är Koecher –Vinbergs teorem en rekonstruktionssats för verkliga Jordanalgebror . Det bevisades oberoende av Max Koecher 1957 och Ernest Vinberg 1961. Det ger en en-till-en-överensstämmelse mellan formellt verkliga Jordanalgebror och så kallade positivitetsdomäner. Således kopplar den samman operatoralgebraiska och konvexa ordningsteoretiska synpunkter på tillståndsrum i fysiska system.

Påstående

En konvex kon $C$ kallas regelbunden om $a=0$ när både $a$ och $-a$ finns i stängningen ${\ överlinje {C}}$ .

En konvex kon $C$ i ett vektorrum $A$ med en inre produkt har en dubbel kon $C ^{*}=\{a\in A:\forall b\in C\langle a,b\rangle >0\}$ . Konen kallas självdual när $C=C^{*}$ . Det kallas homogent när det till någon av två punkter $a,b\in C$ finns en verklig linjär transformation $T\colon A\to A$ som begränsar till en bijektion $C\to C$ och uppfyller $T(a)=b$ .

Koecher–Vinbergs sats anger nu att dessa egenskaper just karakteriserar de positiva konerna i Jordan algebras.

Sats : Det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan formellt verkliga Jordanalgebror och konvexa koner som är:

• öppen;
• regelbunden;
• homogen;
• självdual.

Konvexa koner som uppfyller dessa fyra egenskaper kallas positivitetsdomäner eller symmetriska koner . Positivitetsdomänen som är associerad med en verklig jordansk algebra $A$ är det inre av den 'positiva' konen $A_{+}=\{a^{2 }\colon a\in A\}$ .

Bevis

För ett bevis, se Koecher (1999) eller Faraut & Koranyi (1994) .