Kod (mängdlära)

I mängdlära , en kod för en ärftligt räkningsbar mängd

$x\in H_{\aleph _{1}}\,$

är en uppsättning

$E\subset \omega \times \omega$

så att det finns en isomorfism mellan (ω, E ) och ( X , $\in$ ) där X är den transitiva stängningen av { x }. Om X är ändlig (med kardinalitet n ), använd då n × n istället för ω×ω och ( n , E ) istället för (ω, E ).

Enligt axiomet för extensionalitet bestäms identiteten för en uppsättning av dess element. Och eftersom dessa element också är mängder, bestäms deras identiteter av deras element, etc.. Så om man känner till elementrelationen begränsad till X , så vet man vad x är. (Vi använder den transitiva stängningen av { x } snarare än av x själv för att undvika att blanda ihop elementen i x med element i dess element eller vad som helst.) En kod inkluderar den informationen som identifierar x och även information om den specifika injektionen från X till ω som användes för att skapa E. Den extra informationen om injektionen är inte väsentlig, så det finns många koder för samma set som är lika användbara.

Så koder är ett sätt att mappa $H_{\aleph _{1}}$ till potensmängden ω×ω. Genom att använda en parningsfunktion på ω (som ( n , k ) går till ( n ² +2· n · k + k ² + n +3· k )/2), kan vi mappa potensmängden ω×ω till powerset av ω. Och vi kan mappa kraftmängden ω till Cantor-mängden , en delmängd av de reella talen . Så påståenden om $H_{\aleph _{1}}$ kan omvandlas till påståenden om realerna. Därför $H_{\aleph _{1}}\subset L(R)\,.$

Koder är användbara för att konstruera möss .

Se även

• L(R)

• William J. Mitchell,"The Complexity of the Core Model", "Journal of Symbolic Logic", Vol. 63, Nr. 4, december 1998, sid 1393.