Kirchhoffs diffraktionsformel

Kirchhoffs diffraktionsformel (även Fresnel–Kirchhoff diffraktionsformel ) kan användas för att modellera ljusets utbredning i ett brett spektrum av konfigurationer, antingen analytiskt eller med numerisk modellering . Det ger ett uttryck för vågstörningen när en monokromatisk sfärisk våg är den inkommande vågen av en aktuell situation. Denna formel härleds genom att tillämpa Kirchhoffs integralsats , som använder Greenens andra identitet för att härleda lösningen till den homogena skalära vågekvationen , på en sfärisk våg med några approximationer.

Huygens –Fresnel-principen härleds av Fresnel-Kirchhoff-diffraktionsformeln.

Härledning av Kirchhoffs diffraktionsformel

Kirchhoffs integralsats , ibland kallad Fresnel–Kirchhoffs integralsats, använder Greens andra identitet för att härleda lösningen av den homogena skalära vågekvationen vid en godtycklig rumslig position P i termer av lösningen av vågekvationen och dess första ordningens derivata vid alla punkter på en godtycklig sluten yta $S$ som gränsen för någon volym inklusive P .

Lösningen som tillhandahålls av integralsatsen för en monokromatisk källa är

$$U({\textbf {P}})= {\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\textbf {n}}}}\left({\frac {e^ {iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\textbf {n}}}}\right]dS ,$$

där $U$ är den rumsliga delen av lösningen av den homogena skalära vågekvationen (dvs $V(\mathbf {r} , t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}$ som lösningen för den homogena skalära vågekvationen), k är vågnumret och s är avståndet från P till en (oändligt liten) integral yta element, och ${\frac {\partial }{\partial n}}$ betecknar differentiering längs integralytelementets normalenhetsvektor n $\displaystyle n}$ (dvs. en normalderivata ) , dvs. ${\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f\cdot n$ . Observera att ytnormalen eller riktningen för $n$ är mot insidan av den inneslutna volymen i denna integral; om den mer vanliga yttre pekande normalen används, kommer integralen att ha motsatt tecken. Och notera också att, i integralsatsen som visas här, $n$ och P är vektorkvantiteter medan andra termer är skalära storheter.

För nedanstående fall görs följande grundläggande antaganden.

• Avståndet mellan en punktkälla för vågor och ett integrerat område, avståndet mellan det integrerade området och en observationspunkt P och dimensionen på öppningen S är mycket större än våglängden $\lambda$ .
• $U$ och ${\frac {\partial U}{\partial n}}=\nabla U\cdot n$ är diskontinuerliga vid bländaröppningens gränser, kallas Kirchhoffs gränsvillkor . Detta kan vara relaterat till ett annat antagande att vågor på en bländare (eller ett öppet område) är samma som de vågor som skulle finnas om det inte fanns något hinder för vågorna.

Punktkälla

Ett geometriskt arrangemang som används för att härleda Kirchhoffs diffraktionsformel. Området som betecknas med A1 _är öppningen (öppningen), områdena markerade med A2 _är ogenomskinliga områden och A3 _{är halvklotet} som en del av den slutna integrerade ytan (bestod av områdena Ai, _A2 och A ₃ ) för Kirchhoffs integralsats .

₀ Betrakta en monokromatisk punktkälla vid P , som lyser upp en bländare i en skärm. Intensiteten på det tillryggalagda avståndet, så amplituden faller som inversen av avståndet. Den komplexa amplituden för störningen på ett avstånd $r$ ges av

$$U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},$$

där $a$ representerar storleken på störningen vid punktkällan.

Störningen vid en rumslig position P kan hittas genom att tillämpa Kirchhoffs integralsats på den slutna ytan som bildas av skärningen av en sfär med radien R med skärmen. Integrationen utförs över områdena A ₁ , A ₂ och A ₃ , vilket ger

$$U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3 }}\right]\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{ iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)dS.$$

För att lösa ekvationen antas det att värdena för $U$ och ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ i bländarområdet A ₁ är desamma som när skärmen inte är närvarande, så vid position Q ,

$$U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},$$

$${\frac {\partial U_{A_{1} }}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r} }\right]\cos(n,r),$$

₀ där $r$ är längden på den raka linjen ₀ P Q , och $(n,r)$ är vinkeln mellan en rakt utsträckt version av P Q och (inåt) normalen till bländaren. Observera att $0<(n,r)<{\frac {\pi }{2}}$ så $\cos(n, r)$ är ett positivt reellt tal på A ₁ .

På Q har vi också

$${\frac {\partial }{\partial n}}\left( {\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right] \cos(n,s),$$

där $s$ är längden på den raka linjen PQ , och $(n,s)$ är vinkeln mellan en rakt utsträckt version av PQ och (inåt) normalen till bländaren . Observera att ${\frac {\pi }{2}}<(n,s)<{\frac {3\pi }{2}}$ så $\cos(n,s)$ är ett negativt reellt tal på A ₁ .

Ytterligare två följande antaganden görs.

• I ovanstående normala derivator antas termerna ${\frac {1}{r}}$ och ${\frac {1}{s}}$ i båda hakparenteserna vara försumbar jämfört med vågtalet ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}} ,$ betyder att $r$ och $s$ är mycket större än våglängden $\lambda$ .
• Kirchhoff antar att värdena för $U$ och ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ på de ogenomskinliga områdena markerade med A ₂ är noll. Detta innebär att $U$ och ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ är diskontinuerliga vid kanten av bländaren A ₁ . Detta är inte fallet, och detta är en av de approximationer som används för att härleda Kirchhoffs diffraktionsformel. Dessa antaganden kallas ibland för Kirchhoffs gränsvillkor .

Bidraget från halvklotet A3 till integralen förväntas vara noll, och det kan motiveras av något av följande skäl _.

1. Gör antagandet att källan börjar stråla vid en viss tidpunkt och gör sedan R tillräckligt stor, så att när störningen vid P beaktas, kommer inga bidrag från A ₃ att ha kommit dit. En sådan våg är inte längre monokromatisk , eftersom en monokromatisk våg måste existera hela tiden, men det antagandet är inte nödvändigt, och ett mer formellt argument som undviker dess användning har härletts.
2. En våg som utgår från öppningen A ₁ förväntas utvecklas mot en sfärisk våg när den fortplantar sig (exempel på vattenvågor på detta finns i många bilder som visar en vattenvåg som passerar genom en relativt smal öppning.). Så, om R är tillräckligt stor, så blir integralen på A ₃
   $$U(P)\sim -{\frac {ia }{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\ cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos (n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0$$
   där $r'$ och $d\Omega$ är avståndet från mitten av aperturen A ₁ till ett integrerat ytelement respektive den differentiella rymdvinkeln i det sfäriska koordinatsystemet .

blir slutligen integralen ovan, som representerar den komplexa amplituden vid P ,

$$U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[ \cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.$$

Detta är Kirchhoff- eller Fresnel–Kirchhoff-diffraktionsformeln .

Motsvarighet till Huygens–Fresnel-principen

Geometriskt arrangemang som används för att uttrycka Kirchhoffs formel i en form som liknar Huygens–Fresnel

₀₀₀₀ Huygens –Fresnel-principen kan härledas genom att integrera över en annan sluten yta (gränsen för någon volym som har en observationspunkt P ). Området A ₁ ovan ersätts av en del av en vågfront (emitterad från en P ) vid r , som är närmast bländaren, och en del av en kon med en vertex vid P , som är märkt A ₄ till höger diagram. Om vågfronten är placerad så att vågfronten är mycket nära öppningens kanter, kan bidraget från A ₄ försummas (antaget här). På denna nya A ₁ är den inåtriktade (mot volymen omsluten av den slutna integrerade ytan, alltså mot höger sida i diagrammet) normalen $n$ till A ₁ längs den radiella riktningen från P , dvs riktningen vinkelrätt mot vågfronten. Som ett resultat är vinkeln $(n,r)=0$ och vinkeln $(n,s)$ relaterad till vinkeln $\ chi$ (vinkeln som definieras i Huygens–Fresnel-principen ) som

$$(n,s)=\pi -\chi .$$

₀ Den komplexa amplituden för vågfronten vid r ges av

$$U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.$$

Så, diffraktionsformeln blir

$$U(P)=-{\frac {i}{2\ lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS,$$

₀ där integralen görs över den del av vågfronten vid r som är närmast bländaren i diagrammet. Denna integral leder till Huygens–Fresnel -principen (med snedställningsfaktorn ${\textstyle {\frac {1+\cos \chi }{2}}} )$ .

₀₀ Vid härledningen av denna integral, istället för geometrin som avbildas i det högra diagrammet, kan dubbla sfärer centrerade vid P med den inre sfärens radie r och en oändlig yttre sfärradie användas. I denna geometri är observationspunkten P belägen i volymen som omges av de två sfärerna så Fresnel-Kirchhoff-diffraktionsformeln tillämpas på de två sfärerna. (Ytnormalen på dessa integrerade ytor är, säg återigen, mot den inneslutna volymen i diffraktionsformeln ovan.) I formeltillämpningen är integralen på den yttre sfären noll av en liknande orsak till integralen på halvklotet som noll ovanför .

Utökad källa

₀ Antag att bländaren är upplyst av en förlängd källvåg. Den komplexa amplituden vid bländaren ges av U ( r ).

Det antas, som tidigare, att värdena för $U$ och ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ i området A ₁ är desamma som när skärmen är inte närvarande, att värdena för $U$ och ${\frac {\partial U}{\partial n}}$ i A ₂ är noll (Kirchhoffs randvillkor) och att bidraget från A ₃ till integralen också är noll. Det antas också att 1/ s är försumbar jämfört med k . Det har vi då

$$U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0} (r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.$$

Detta är den mest allmänna formen av Kirchhoffs diffraktionsformel. För att lösa denna ekvation för en utökad källa skulle en ytterligare integration krävas för att summera bidragen från de enskilda punkterna i källan. Om vi ​​däremot antar att ljuset från källan vid varje punkt i bländaren har en väldefinierad riktning, vilket är fallet om avståndet mellan källan och bländaren är betydligt större än våglängden, så kan vi skriva

$$U_{0}(r)\approx a(r)e^{ikr},$$

där a ( r ) är storleken på störningen vid punkten r i bländaren. Det har vi då

$${\frac {\partial {U_{0}(r)}}{\partial n}}=ika(r )\cos(n,r)$$

och sålunda

$$U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{iks}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.$$

Fraunhofer och Fresnel diffraktionsekvationer

Trots de olika approximationer som gjordes för att komma fram till formeln, är det tillräckligt att beskriva majoriteten av problemen inom instrumentell optik. Detta beror främst på att ljusets våglängd är mycket mindre än dimensionerna för eventuella hinder som stött på. Analytiska lösningar är inte möjliga för de flesta konfigurationer, men Fresnel-diffraktionsekvationen och Fraunhofer-diffraktionsekvationen , som är approximationer av Kirchhoffs formel för närfältet och fjärrfältet , kan tillämpas på ett mycket brett spektrum av optiska system.

₀ Ett av de viktiga antaganden som gjorts för att komma fram till Kirchhoffs diffraktionsformel är att r och s är betydligt större än λ. En annan approximation kan göras, vilket avsevärt förenklar ekvationen ytterligare: detta är att avstånden P Q och QP är mycket större än dimensionerna på bländaren. Detta gör att man kan göra ytterligare två uppskattningar:

• ₀₀ cos( n , r ) − cos( n, s ) ersätts med 2cos β, där β är vinkeln mellan PP och normalen till bländaren. Faktorn 1/ rs ersätts med 1/ r ' s ' , där r ' och s ' är avstånden från P och P till origo, som finns i bländaren. Den komplexa amplituden blir då:
  $$U(P)=-{\frac {ia\cos \beta }{\lambda r's'}}\int _{S}e^{ik(r+s)}\,ds.$$
• ₀₀₀₀ Antag att bländaren ligger i xy- planet och att koordinaterna för P , P och Q (en allmän punkt i bländaren) är ( x , y , z ), ( x , y , z ) och ( x ' , y ' , 0) respektive. Vi har då:

  $~r^{2}=(x_{0}-x')^{2}+ (y_{0}-y')^{2}+z_{0}^{2},$

  $~ s^{2}=(xx')^{2}+(yy')^{2}+z^{2},$

  $~r' ^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2},$

  $~s'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Vi kan uttrycka r och s enligt följande:

$$r=r'\left[1-{\ frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r' ^{2}}}\right]^{1/2},$$

$$s=s'\left[1-{\frac {2(xx'+yy')}{s'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{ 2}}{s'^{2}}}\right]^{1/2}.$$

Dessa kan utökas som kraftserier :

$$r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}\left[2(x_ {0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8r'^{4}}}\vänster [2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right],$$

$$s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^ {2})\right]+{\frac {1}{8s'^{4}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2}) \right]^{2}+\cdots \right].$$

Den komplexa amplituden vid P kan nu uttryckas som

$$U , {$$

där f ( x ' , y ' ) inkluderar alla termer i uttrycken ovan för s och r förutom den första termen i varje uttryck och kan skrivas i formen

$$f(x',y') =c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{5}x'y'\cdots ,$$

där c _i är konstanter.

Fraunhofer diffraktion

Huvudartikel: Fraunhofer-diffraktion

₀ Om alla termer i f ( x ' , y ' ) kan försummas förutom termerna i x ' och y ' , har vi Fraunhofers diffraktionsekvation . Om riktningscosinuserna för P Q och PQ är

$${\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s', \\m&=y/s'.\end{aligned}}$$

Fraunhofers diffraktionsekvation är då

$$U(P)=C\int _{S} e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',$$

där C är en konstant. Detta kan också skrivas i formuläret

$$U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0 }-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',$$

₀₀ där k och k är vågvektorerna för de vågor som färdas från P till bländaren respektive från bländaren till P , och r ' är en punkt i bländaren.

₀ Om punktkällan ersätts av en utökad källa vars komplexa amplitud vid aperturen ges av U ( r' ), så är Fraunhofers diffraktionsekvation :

$$U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r } ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',$$

₀ där a ( r' ) är, som tidigare, storleken på störningen vid bländaren.

Förutom de approximationer som gjorts för att härleda Kirchhoff-ekvationen, antas det att

• r och s är betydligt större än storleken på bländaren,
• andra och högre ordningens termer i uttrycket f ( x ' , y ' ) kan försummas.

Fresnel diffraktion

Huvudartikel: Fresnel-diffraktion

När de kvadratiska termerna inte kan försummas men alla termer av högre ordning kan, blir ekvationen Fresnel-diffraktionsekvationen . Approximationerna för Kirchhoff-ekvationen används, och ytterligare antaganden är:

• r och s är betydligt större än storleken på bländaren,
• termer av tredje och högre ordningen i uttrycket f ( x ' , y ' ) kan försummas.

Vidare läsning

• Baker, BB; Copson, ET (1939, 1950). Den matematiska teorin om Huygens princip . Oxford.
•   Woan, Graham (2000). Cambridge Handbook of Physics Formulas . Cambridge University Press. ISBN 9780521575072 .
•   J. Goodman (2005). Introduktion till Fourieroptik (3:e upplagan). Roberts & Co Publishers. ISBN 978-0-9747077-2-3 .
•   Griffiths, David J. (2012). Introduktion till elektrodynamik . Pearson Education, Limited. ISBN 978-0-321-85656-2 .
•   Band, Yehuda B. (2006). Ljus och materia: elektromagnetism, optik, spektroskopi och laser . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-89931-0 .
•   Kenyon, Ian (2008). The Light Fantastic: En modern introduktion till klassisk och kvantoptik . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-856646-5 .
•   Lerner, Rita G. ; George L., Trigg (1991). Encyclopedia of physics . VCH. ISBN 978-0-89573-752-6 .
•   Sybil P., Parker (1993). MacGraw-Hill Encyclopedia of Physics . McGraw-Hill Ryerson, Limited. ISBN 978-0-07-051400-3 .