Kermack–McKendricks teori

Kermack-McKendrick-teorin är en hypotes som förutsäger antalet och fördelningen av fall av en infektionssjukdom när den överförs genom en population över tid. Med utgångspunkt i Ronald Ross och Hilda Hudsons forskning publicerade AG McKendrick och WO Kermack sin teori i en uppsättning av tre artiklar från 1927, 1932 och 1933. Medan Kermack-McKendricks teori verkligen var källan till SIR-modeller och deras släktingar, Kermack och McKendrick tänkte på ett mer subtilt och empiriskt användbart problem än det enkla fackmodeller som diskuteras här. Texten är något svårläst jämfört med moderna tidningar, men det viktiga är att det var en modell där infektionsåldern påverkade överförings- och borttagningshastigheten.

På grund av deras avgörande betydelse för området teoretisk epidemiologi återpublicerades dessa artiklar i Bulletin of Mathematical Biology 1991.

Epidemimodell (1927)

I sin ursprungliga form är Kermack–McKendrick-teorin en partiell differentialekvationsmodell som strukturerar den infekterade befolkningen i termer av infektionsålder, samtidigt som enkla fack används för personer som är mottagliga (S), infekterade (I) och återhämtade /borttagen (R). Angivna initiala villkor skulle förändras över tiden enligt

${\frac {dS}{dt}}=-\lambda S,$

${\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a}}=\delta (a)\lambda S-\gamma (a)i ,$

$I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da,$

${\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da,$

där $\delta (a)$ är en Dirac delta-funktion och infektionstrycket

$\lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da.$

Denna formulering är ekvivalent med att definiera förekomsten av infektion $i(t,0)=\lambda S$ . Endast i det speciella fallet när borttagningshastigheten $\gamma (a)$ och överföringshastigheten $\beta (a)$ är konstanta för alla åldrar kan epidemidynamiken uttryckas i termer av prevalensen $I(t)$ , vilket leder till standardmodellen SIR . Denna modell tar endast hänsyn till infektions- och avlägsnandehändelser, som är tillräckliga för att beskriva en enkel epidemi, inklusive det tröskeltillstånd som krävs för att en epidemi ska starta, men kan inte förklara endemisk sjukdomsöverföring eller återkommande epidemier.

Endemisk sjukdom (1932, 1933)

I sina efterföljande artiklar utökade Kermack och McKendrick sin teori för att tillåta födelse, migration och död, såväl som ofullkomlig immunitet. I modern notation kan deras modell representeras som

${\frac {dS}{dt}}=b_{0}+b_{S}S +b_{I}I+b_{R}R-\lambda S-m_{S}S,$

${\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a }}=\delta (a)\lambda (S+\sigma R)-\gamma (a)i-\mu (a)i-m_{i}(a)i,$

$I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da$

${\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da-\sigma \lambda R-m_{R}R,$

där $b_{0}$ är invandringsfrekvensen för mottagliga, b _j är födelsetalen per capita för stat j , m _j är dödligheten per capita för individer i state j , $\ sigma$ är den relativa risken för infektion för återhämtade individer som är delvis immuna, och infektionstrycket

$\lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da.$

Kermack och McKendrick kunde visa att det medger en stationär lösning där sjukdomen är endemisk, så länge tillgången på mottagliga individer är tillräckligt stor. Denna modell är svår att analysera i sin fulla allmänhet, och ett antal öppna frågor kvarstår angående dess dynamik.