Kedjesekvens

I den analytiska teorin om fortsatta bråk är en kedjesekvens en oändlig sekvens { a _n } av icke-negativa reella tal kedjade samman med en annan sekvens { g _n } av icke-negativa reella tal genom ekvationerna

$a_{1}=(1-g_{0}) g_{1}\quad a_{2}=(1-g_{1})g_{2}\quad a_{n}=(1-g_{n-1})g_{n}$

där antingen (a) 0 ≤ g _n < 1, eller (b) 0 < g _n ≤ 1. Kedjesekvenser uppstår i studiet av konvergensproblemet – både i samband med parabelsatsen, och även som en del av teorin om positiva bestämda fortsatta fraktioner.

Den oändliga fortsatta bråkdelen av Worpitzkys sats innehåller en kedjesekvens. En närbesläktad sats visar det

$f(z)={\cfrac {a_{1}z}{1+{\cfrac {a_ {2}z}{1+{\cfrac {a_{3}z}{1+{\cfrac {a_{4}z}{\ddots }}}}}}}}\,$

konvergerar likformigt på den slutna enhetsskivan | z | ≤ 1 om koefficienterna { a _n } är en kedjesekvens.

Ett exempel

₀ Sekvensen {¼, ¼, ¼, ...} visas som ett begränsande fall i Worpitzkys sats. Eftersom denna sekvens genereras genom att sätta g = g ₁ = g ₂ = ... = ½, är det helt klart en kedjesekvens. Denna sekvens har två viktiga egenskaper.

• Eftersom f ( x ) = x − x ² är ett maximum när x = ½, är detta exempel den "största" kedjesekvensen som kan genereras med ett enda genererande element; eller, mer exakt, om { g _n } = { x } och x < ½, blir den resulterande sekvensen { a _{n } en oändlig upprepning av ett reellt tal} y som är mindre än ¼.
• Valet g _n = ½ är inte den enda uppsättningen generatorer för denna speciella kedjesekvens. Lägg märke till den inställningen

$g_{0}=0\quad g_{1}={\textstyle {\frac {1}{4}}}\quad g_{2}={\textstyle {\frac {1}{3}}}\quad g_{3}={\textstyle {\frac {3}{8}}}\;\dots$

genererar samma oändliga sekvens {¼, ¼, ¼, ...}.

Anteckningar

•   HS Wall, Analytic Theory of Continued Fractions , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; omtryckt av Chelsea Publishing Company, (1973), ISBN 0-8284-0207-8