Katalektant

Men katalektanten för den biquadratiska funktionen av x , y uppmärksammades först som en invariant av Mr Boole; och diskriminanten för den kvadratiska funktionen av x , y är identisk med dess katalektant, som också med dess hessiska. Meicatalecticizant skulle mer fullständigt uttrycka innebörden av det som jag för korthetens skull benämner katalektanten.

Sylvester (1852) , citerad av Miller (2010)

I matematisk invariantteori är katalektanten för en form av jämn grad ett polynom i sina koefficienter som försvinner när formen är summan av ett ovanligt litet antal makter av linjära former . Den introducerades av Sylvester (1852) ; se Miller (2010) . Ordet catalectic syftar på en ofullständig versrad, som saknar en stavelse i slutet eller slutar med en ofullständig fot.

Binära former

Katalektanten för en binär form av grad 2 n är ett polynom i sina koefficienter som försvinner när den binära formen är summan av högst n potenser av linjära former ( Sturmfels 1993 ).

Katalektanten för en binär form kan anges som bestämningsfaktorn för en katalektant matris ( Eisenbud 1988 ), även kallad Hankel-matris , det vill säga en kvadratisk matris med konstanta (positivt lutande) skev-diagonaler, som t.ex.

${\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\end{bmatrix}}.$

Katalektanter av kvartsformer

Katalektanten av en kvartsform är resultatet av dess andra partiella derivator. För binära kvartiker försvinner katalektanten när formen är summan av två 4:e potenser. För en ternär kvartik försvinner katalektanten när formen är summan av fem fjärde potenser. För kvartära kvartiker försvinner katalektanten när formen är summan av nio fjärde potenser. För quinary quartics försvinner katalektanten när formen är summan av fjorton fjärde potenser. ( Elliott 1913 , s. 295)

•     Eisenbud, David (1988), "Linear sections of determinantal varieties", American Journal of Mathematics , 110 (3): 541–575, doi : 10.2307/2374622 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 23746272 , JSTOR 23746272
•   Elliott, Edwin Bailey (1913) [1895], En introduktion till kvantikens algebra. (2:a upplagan), Oxford. Clarendon Press, JFM 26.0135.01
•    Sturmfels, Bernd (1993), Algorithms in invariant theory , Texts and Monographs in Symbolic Computation, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-211-77417-5 , ISBN 978-82-411 -0 , MR 1255980
• Miller, Jeff (2010), De tidigaste kända användningarna av några av matematikens ord (C)
• Sylvester, JJ (1852), "Om principerna för formkalkylen", Cambridge och Dublin Mathematical Journal : 52–97