Küpfmüllers osäkerhetsprincip

Küpfmüllers osäkerhetsprincip av Karl Küpfmüller år 1924 säger att förhållandet mellan stigtiden för en bandbegränsad signal och dess bandbredd är konstant.

$\Delta f\Delta t\geq k$

med $k$ antingen $1$ eller ${\frac {1}{2}}$

Bevis

En bandbegränsad signal $u(t)$ med fouriertransform ${\hat {u}}(f)$ i frekvensrymden ges genom multiplikationen av valfri signal ${\underline {\hat {u}}}(f)$ med ${\displaystyle {\hat {u}}(f)={{\underline {\hat {u}}}(f)}{{\Big |}_{\Delta f}}} med en$ rektangulär funktion av bredd $\Delta f$

${\hat {g}}(f)=\operatörsnamn {rect} \left({\frac {f}{\Delta f}}\right)=\chi _{[- \Delta f/2,\Delta f/2]}(f):={\begin{cases}1&|f|\leq \Delta f/2\\0&{\text{else}}\end{cases} }$

som (tillämpar faltningssatsen )

${\hat {g}}(f)\cdot {\hat {u}}(f)=(g*u )(t)$

Eftersom fouriertransformen av en rektangulär funktion är en sinc-funktion och vice versa, följer

${\ f 2 g$

Nu är den första roten av $g(t)$ vid ${\displaystyle \pm {\frac {1}{\Delta f}}} ,$ vilket är stigtiden ${ \displaystyle \Delta t}$ av pulsen $g(t)$ , följer nu

$\Delta t={\frac {1}{\Delta f}}$

Likhet ges så länge $\Delta t$ är ändlig.

Angående att en verklig signal har både positiva och negativa frekvenser av samma frekvensband, så blir $\Delta f$${\displaystyle 2\cdot \Delta f} ,$ vilket leder till ${ \displaystyle k={\frac {1}{2}}}$ istället för $k=1$

Se även

• Heisenbergs osäkerhetsprincip

Vidare läsning

•   Küpfmüller, Karl ; Kohn, Gerhard (2000). Theoretische Elektrotechnik und Elektronik (på tyska). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56500-0 .
•   Hoffmann, Rüdiger (2005). Grundlagen der Frequenzanalyse - Eine Einführung für Ingenieure und Informatiker (på tyska) (2 uppl.). Renningen, Tyskland: Expert Verlag. ISBN 3-8169-2447-6 .
•   Girod, Bernd ; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alexander (2007). Einführung in die Systemtheorie (på tyska) (4 uppl.). Wiesbaden, Tyskland: Teubner Verlag . ISBN 978-3-83510176-0 .

´