Kärnfunktion för att lösa integralekvationen för ytstrålningsutbyten

Inom fysik och teknik är den strålningsvärmeöverföringen från en yta till en annan lika med skillnaden mellan inkommande och utgående strålning från den första ytan. I allmänhet styrs värmeöverföringen mellan ytorna av temperatur, ytemissionsegenskaper och ytornas geometri. Relationen för värmeöverföring kan skrivas som en integralekvation med randvillkor baserade på ytförhållanden. Kärnfunktioner kan vara användbara för att approximera och lösa denna integralekvation.

Styrande ekvation

Strålningsvärmeväxlingen beror på höljets lokala yttemperatur och ytornas egenskaper, men beror inte på mediet. Eftersom media varken absorberar, avger eller sprider strålning.

Styrande ekvation för värmeöverföring mellan två ytor A _i och A _j

{\begin{aligned}q(r_{i})={}&\int _{\lambda =0}^{\infty }\int _{\psi _{i}=0 }^{2\pi }\int _{\theta _{i}=0}^{\frac {\pi }{2}}\varepsilon _{\lambda ,i}(\lambda ,\psi _{i },\theta _{i},r_{i})I_{b\lambda ,i}(\cos \theta _{i}\sin \theta _{i})\,d\theta _{i}\ ,d\psi _{i}\,d\lambda \\&-\sum _{j=1}^{N}\int _{\lambda =0}^{\infty }\rho _{\lambda , i}(\lambda ,\psi _{r,j},\theta _{r,j},\psi _{j},\theta _{j},r_{i})I_{\lambda ,k} (\lambda ,\psi _{k},\theta _{k},r_{i}){\frac {\cos \theta _{j}\cos \theta _{k}}{|r_{k} -r_{j}|^{2}}}\,dA_{k}\end{aligned}}

var

$\lambda$ är våglängden för strålning,
$I$ är strålningsintensiteten,
$\varepsilon$ är emissiviteten,
$r$ är reflektiviteten,
$\theta$ är vinkeln mellan ytans normal och strålningsutbytesriktningen, och
$\psi$ är azimutvinkeln

Om ytan på inneslutningen är ungefärlig som grå och diffus yta, och så kan ovanstående ekvation skrivas som efter det analytiska förfarandet

q(r)+\varepsilon (r)E_{b}=\varepsilon (r)\oint K(r,r')\left[E_{b}(r')+1-{\frac { \varepsilon (r')}{\varepsilon (r)}}d\Gamma (r')\right]

där

E_{b}

är den svarta kroppens emissionseffekt som ges som funktion av temperaturen hos den svarta kroppen

E_{b}(r)=\sigma T^{4}(r)

där

\sigma

är Stefan–Boltzmann-konstanten .

Kärnfunktion

Kärnfunktioner ger ett sätt att manipulera data som om de projicerades in i ett högre dimensionellt utrymme, genom att arbeta på det i dess ursprungliga utrymme. Så att data i högre dimensionellt utrymme blir lättare att separera. Kärnfunktion används också i integralekvationer för ytstrålningsutbyten. Kärnfunktionen relaterar till både kapslingens geometri och dess ytegenskaper. Kärnans funktion beror på kroppens geometri.

I ovanstående ekvation är K ( r , r′ ) kärnfunktionen för integralen, som för 3D-problem har följande form

K(r,r')=-{\frac {n(rr')n'(rr')}{\pi |rr'|^{4}}}F={\frac {\ cos \theta _{r}\cos \theta _{r}'}{\pi |rr'|^{4}}}F

där F antar värdet ett när ytelementet I ser ytelementet J , annars är det noll om strålen är blockerad och θr är vinkeln i punkten r , och θr ′ i punkten r ′. Parametern F beror på kroppens geometriska konfiguration, så kärnans funktion är mycket oregelbunden för en geometriskt komplex inneslutning.

Kärnekvation för 2D och axelsymmetrisk geometri

För 2D och axisymmetriska konfigurationer kan kärnfunktionen integreras analytiskt längs z- eller θ -riktningen. Integrationen av kärnfunktionen är

K(r,r')=-\iint F{\frac {n(rr')n'(rr')}{\pi |rr'|^{4}}}\,dz' \,dz={\frac {n(rr')n'(rr')}{\pi |rr'|^{4}}}F

Här betecknar n enhetsnormalen för element I vid azimutvinkeln ϕ ′ är noll, och n ′ hänvisar till enhetsnormalen för element J med någon azimutvinkel ϕ ′. De matematiska uttrycken för n och n ′ är följande:

_ (\cos \theta ,0,\sin \theta )\\n'&=(\cos \theta '\sin \phi ',\cos \theta '\sin \phi ',\sin \theta ')\end {Justerat}}}

Genom att ersätta dessa termer i ekvation, omarrangeras kärnfunktionen i termer av azimutvinkeln ϕ'-

K(\phi ')={\ frac {(c'+d\cos \phi ')(c''+d\cos \phi ')}{\pi (c+d\cos \phi ')^{2}}}F

var

{\begin{aligned}c&=r_{i}^{2}+r_{j}^{2}+Z_{ j}^{2}\\d&=-2r_{i}r_{j}\\c'&=Z_{j}\sin \theta -r_{i}\cos \theta \\d'&=r_{ j}\cos \theta \\c''&=Z_{j}\sin \theta '+r_{j}\cos \theta '\\d''&=-r_{i}\cos \theta '\ end{aligned}}

Relation

{\frac {d\left\{\arctan \left ({\sqrt {\frac {cd}{c+d}}}\tan {\frac {\phi}{2}}\right)\right\}}{dx}}={\frac {\sqrt { c^{2}-d^{2}}}{2(c+d\cos \phi )}}

gäller för just detta fall.

Det slutliga uttrycket för kärnfunktionen är

{\bar {k}}(\phi )=2\int _{0}^{\phi }k(\phi ')\,d\phi '=-{\frac {2}{ \pi }}\left[A\phi +b\arctan \left({\sqrt {\frac {cd}{c+d}}}\tan {\frac {\phi}{2}}\right)+ C{\frac {\sin \phi }{c+d\cos \phi }}\right]

var

{\begin{aligned}A&={\frac {d'd''}{d^{ 2}}}\\B&=2{\frac {(c^{2}-d^{2})(d'f+ed'')+cdef}{d(c^{2}-d^{ 2}){\sqrt {c^{2}-d^{2}}}}}\\C&={\frac {def}{d^{2}-c^{2}}}\\e&= {\frac {dc'-cd'}{d}}\\f&={\frac {dc''-cd''}{d}}\end{aligned}}

Robert Siegel, Thermal Radiation Heat Transfer, fjärde upplagan
Ben Q. Li, "Discontinuous finita element in fluid dynamics and heat transfer"
JR Mahan Radiation Heat Transfer: A Statistical Approach, volym 1
Richard M. Goody Yuk Ling Yung Atmosfärisk strålning
KG Terry Hollands "The Simplified-Fredholm Integral Equation Solver och dess användning i termisk strålning"
Michael F. Modest Radiative Heat Transfer

externa länkar