Jurkat–Richerts sats

Jurkat –Richert-satsen är en matematisk sats inom silteorin . Det är en nyckelingrediens i bevis för Chens sats om Goldbachs gissningar . Det bevisades 1965 av Wolfgang B. Jurkat och Hans-Egon Richert .

Uttalande av satsen

Denna formulering är från Diamond & Halberstam . Andra formuleringar finns i Jurkat & Richert, Halberstam & Richert och Nathanson.

Antag att A är en ändlig sekvens av heltal och P är en uppsättning primtal. Skriv A _d för antalet poster i A som är delbara med d , och skriv P ( z ) för produkten av elementen i P som är mindre än z . Skriv ω( d ) för en multiplikativ funktion så att ω( p )/ p är ungefär proportionen av element i A som är delbart med p , skriv X för en lämplig approximation till | A |, och skriv resten som

$r_{A}(d)=\left|A_{d}\right|-{\frac {\omega (d)}{d}}X.$

Skriv S ( A , P , z ) för antalet poster i A som är relativt primtal till P ( z ). Skriva

$V(z)=\prod _{p\in P,p<z}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right).$

Skriv ν( m ) för antalet distinkta primtalsdelare för m . Skriv F ₁ och f ₁ för funktioner som uppfyller vissa differentialekvationer (se Diamond & Halberstam för definition och egenskaper).

Vi antar att dimensionen (sikttätheten) är 1: det vill säga det finns en konstant C så att vi för 2 ≤ z < w har

$\prod _{z\leq p<w}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right)^{-1}\leq \left({\frac { \log w}{\log z}}\right)\left(1+{\frac {C}{\log z}}\right).$

(Diamond & Halberstams bok utökar satsen till dimensioner högre än 1.) Sedan säger Jurkat–Richerts sats att för alla tal y och z med 2 ≤ z ≤ y ≤ X har vi

$S(A,P,z)\leq XV(z)\left(F_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)+O\left({ \frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)+\summa _{m|P(z),m <y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|$

och

$S(A,P,z)\geq XV(z)\left(f_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)-O\left({ \frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)-\summa _{m|P(z),m <y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|.$