Jacobson–Morozovs sats

Inom matematiken är Jacobson-Morozov-satsen påståendet att nilpotenta element i en semi-enkel Lie-algebra kan utökas till sl ₂ -trippel . Teoremet är uppkallat efter Jacobson 1951 , Morozov 1942 .

Påstående

Jacobson–Morozovs uttalande bygger på följande preliminära föreställningar: en sl ₂ -trippel i en semi-enkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ (genom i den här artikeln, över ett fält med karakteristisk noll ) är en homomorfism av Lie algebras ${\mathfrak {sl}}_{2}\to {\mathfrak {g}}$ . På motsvarande sätt är det en trippel $e,f,h$ av element i ${\mathfrak {g}}$ som uppfyller relationerna

$[h,e]=2e,\quad [h,f]=-2f,\quad [e,f]=h.$

Ett element $x\in {\mathfrak {g}}$ kallas nilpotent, om endomorfismen $[x,-]:{\mathfrak {g} }\to {\mathfrak {g}}$ (känd som adjoint representation ) är en nilpotent endomorfism . Det är ett elementärt faktum att för varje sl ₂ -trippel $(e,f,h)$ måste e vara nilpotent. Jacobson–Morozovs sats säger att, omvänt, alla nilpotenta icke-noll element $e\in {\mathfrak {g}}$ kan utökas till en sl ₂ -trippel. För ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}} görs$ sl ₂ -trippelna som erhålls på detta sätt explicit i Chriss & Ginzburg (1997, s. 184).

Satsen kan också anges för linjära algebraiska grupper (återigen över ett fält k med karakteristisk noll): all morfism (av algebraiska grupper) från den additiva gruppen $G_{a}$ till en reduktiv grupp H faktorer genom inbäddning

$G_{a}\to SL_{2},x\mapsto \left({\begin{array}{cc}1&x\\0&1\end{array}}\right).$

Dessutom två sådana faktoriseringar

$SL_{2}\to H$

är konjugerade med en k -punkt av H .

Generalisering

En långtgående generalisering av satsen som formulerats ovan kan uttryckas enligt följande: inkluderingen av proreduktiva grupper i alla linjära algebraiska grupper, där morfismer $G\to H$ i båda kategorierna tas upp till konjugering av element i $H(k)$ , tillåter en vänsteradjoint , det så kallade pro-reduktiva höljet. Denna vänstra adjoint skickar additivgruppen $G_{a}$ till $SL_{2}$ (vilket råkar vara semi-enkelt, i motsats till pro-reduktiv), och återställer därigenom ovanstående form av Jacobson–Morozov. Denna generaliserade Jacobson–Morozov-sats bevisades av André & Kahn (2002 , sats 19.3.1) genom att vädja till metoder relaterade till Tannakiska kategorier och av O'Sullivan (2010) med mer geometriska metoder.

•   André, Yves; Kahn, Bruno (2002), "Nilpotens, radicaux et strukturer monoïdales", Rend. Semin. Matta. Univ. Padova , 108 : 107–291, arXiv : math/0203273 , Bibcode : 2002math......3273A , MR 1956434
•    Chriss, Neil; Ginzburg, Victor (1997), Representationsteori och komplex geometri , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3792-3 , MR 1433132
•   Bourbaki, Nicolas (2007), Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 7 et 8 , Springer, ISBN 9783540339779
•    Jacobson, Nathan (1935), "Rational methods in the theory of Lie algebras", Annals of Mathematics , Second Series, 36 (4): 875–881, doi : 10.2307/1968593 , JSTOR 1968593 , MR 8 150325
• Jacobson, Nathan (1951), "Completely reducible Lie algebras of linear transformations", Proceedings of the American Mathematical Society , 2 : 105–113, doi : 10.1090/S0002-9939-1951-0049882-0 498MR 2-5 , 498MR  
•   Jacobson, Nathan (1979), Lie algebras (Republication of the 1962 original ed.), Dover Publications, Inc., New York, ISBN 0-486-63832-4
•   Morozov, VV (1942), "On a nilpotent element in a semi-enkel Lie-algebra", CR (Doklady) Acad. Sci. URSS , New Series, 36 : 83–86, MR 0007750
•   O'Sullivan, Peter (2010), "The generalized Jacobson-Morosov theorem", Memoirs of the American Mathematical Society , 207 (973), doi : 10.1090/s0065-9266-10-00603-4 , ISBN 978-0-8218 -4895-1