Jacobson–Bourbakis sats

Inom algebra är Jacobson–Bourbaki-satsen en sats som används för att utvidga Galois-teorin till fältförlängningar som inte behöver vara separerbara. Det introducerades av Nathan Jacobson ( 1944 ) för kommutativa fält och utökades till icke-kommutativa fält av Jacobson (1947) och Henri Cartan ( 1947 ) som krediterade resultatet till opublicerat arbete av Nicolas Bourbaki . Utvidgningen av Galois-teorin till normala förlängningar kallas Jacobson–Bourbaki-korrespondensen , som ersätter överensstämmelsen mellan vissa underfält i ett fält och vissa undergrupper i en Galois-grupp med en överensstämmelse mellan några underdelningsringar i en divisionsring och några subalgebraer i en associativ algebra.

Jacobson–Bourbaki-satsen innebär både den vanliga Galois-överensstämmelsen för delfält av en Galois-förlängning, och Jacobsons Galois-överensstämmelse för delfält med en rent oskiljaktig förlängning av exponenten som mest 1.

Påstående

Antag att L är en divisionsring . Jacobson–Bourbakis sats säger att det finns en naturlig 1:1 överensstämmelse mellan:

• Divisionsringarna K i L av ändligt index n (med andra ord L är ett ändligt dimensionellt vänster vektorrum över K ).
• Unitala K -algebror med ändlig dimension n (som K -vektorrum) som ingår i ringen av endomorfismer i den additiva gruppen av K .

Underdelningsringen och motsvarande subalgebra är varandras kommutanter.

Jacobson (1956 , kapitel 7.2) gav en utvidgning till underdelningsringar som kan ha oändligt index, vilket motsvarar slutna subalgebra i den finita topologin.

•   Cartan, Henri (1947), "Les principaux théorèmes de la théorie de Galois pour les corps non nécessairement commutatifs", Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 224 : 249–251, MR 0020983
•    Cartan, Henri (1947), "Théorie de Galois pour les corps non commutatifs", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 64 : 59–77, doi : 10.24033/asens.942 , ISSN 5903 , ISSN 5903 , ISSN 5903 0023237
•    Jacobson, Nathan (1944), "Galois theory of purely inseparable fields of exponent one", American Journal of Mathematics , 66 (4): 645–648, doi : 10.2307/2371772 , ISSN 0002-9327 , 7MR 702 1 , JSTOR 702 1  
•     Jacobson, Nathan (1947), "A note on division rings", American Journal of Mathematics , 69 (1): 27–36, doi : 10.2307/2371651 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371651 , MR 102098
•    Jacobson, Nathan (1956), Structure of rings , American Mathematical Society, Colloquium Publications, vol. 37, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1037-8 , MR 0081264
•    Jacobson, Nathan (1964), Föreläsningar i abstrakt algebra. Vol III: Theory of fields and Galois theory , D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, NJ-Toronto, Ont.-London-New York, ISBN 978-0-387-90168-8 , MR 0172871
• Kreimer, F. (2001) [1994], "Jacobson-Bourbaki_theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press