Jacobi theta-funktioner (notationsvariationer)

Det finns ett antal notationssystem för Jacobi theta-funktionerna . Beteckningarna i Wikipedia-artikeln definierar den ursprungliga funktionen

$\vartheta _{00}(z;\tau )=\summa _{n =-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)$

vilket motsvarar

$\vartheta _{00}(w,q)=\summa _{n=-\infty }^{\infty } q^{n^{2}}w^{2n}$

där $q=e^{\pi i\tau }$ och $w=e^{\pi iz}$ .

En liknande notation definieras emellertid något annorlunda i Whittaker och Watson, sid. 487:

$\vartheta _{0,0}(x)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\exp(2\pi inx/a)$

Denna notation tillskrivs "Hermite, HJS Smith och några andra matematiker". De definierar också

$\vartheta _{ 1,1}(x)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}\exp(\ pi i(2n+1)x/a)$

Detta är en faktor på i från definitionen av $\vartheta _{11}$ som definieras i Wikipedia-artikeln. Dessa definitioner kan göras åtminstone proportionella med x = za , men andra definitioner kan inte. Whittaker och Watson, Abramowitz och Stegun, och Gradshteyn och Ryzhik följer alla Tannery och Molk, där

$\vartheta _{1}( z)=-i\summa _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}\exp((2n+1) )iz)$

$\vartheta _{2}(z)= \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\exp((2n+1)iz)$

$\vartheta _{3}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2} }\exp(2niz)$

$\vartheta _{4}(z)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\exp(2niz)$

Observera att det inte finns någon faktor av π i argumentet som i de tidigare definitionerna.

Whittaker och Watson hänvisar till ytterligare andra definitioner av $\vartheta _{j}$ . Varningen i Abramowitz och Stegun, "Det finns en förvirrande variation av beteckningar ... i konsultböcker bör försiktighet iakttas," kan ses som en underdrift. I något uttryck bör en förekomst av $\vartheta (z)$ inte antas ha någon speciell definition. Det åligger författaren att ange vilken definition av $\vartheta (z)$ avses.

•      Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. "Kapitel 16.27ff.". Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . Serien tillämpad matematik. Vol. 55 (Nionde nytrycket med ytterligare korrigeringar av tionde originaltrycket med korrigeringar (december 1972); första upplagan). Washington DC; New York: USA:s handelsdepartement, National Bureau of Standards; Dover Publikationer. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
•    Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich (1980). "8.18.". I Jeffrey, Alan (red.). Tabell över integraler, serier och produkter . Översatt av Scripta Technica, Inc. (4:e korrigerade och förstorade upplagan). Academic Press, Inc. ISBN 0-12-294760-6 . LCCN 79027143 .
• ET Whittaker och GN Watson , A Course in Modern Analysis , fjärde upplagan, Cambridge University Press, 1927. (Se kapitel XXI för historien om Jacobis θ-funktioner)