Jacobi set

I Morse-teorin , en matematisk disciplin, tillhandahåller Jacobi-uppsättningar en metod för att studera förhållandet mellan två eller flera Morse-funktioner .

För två morsefunktioner definieras Jacobi-uppsättningen som uppsättningen av kritiska punkter för begränsningen av en funktion till nivåuppsättningarna för den andra funktionen.

Jacobi-uppsättningen kan också definieras som den uppsättning punkter där gradienterna för de två funktionerna är parallella.

Om båda funktionerna är generiska är Jacobi-setet ett smidigt inbäddat 1-grenrör.

Definition

Betrakta två generiska morsefunktioner $f,g:M\to \mathbb {R}$ definierade på en jämn $d$ -grenrör. Låt begränsningen av $f$ till nivån sätta $g^{-1}(t)$ för $t\in \mathbb {R}$ a reguljärt värde, kallas $f_{t}:g^{-1}(t)\to \mathbb {R}$ ; det är en morsefunktion. Då Jacobi-uppsättningen $J$ av $f$ och $g$ är $J=cl{\ {x\in M\mid x{\mbox{ är kritisk punkt för }}f_{t}\}}$ ,

Alternativt är Jacobi-uppsättningen samlingen av punkter där funktionernas gradienter ligger i linje med varandra eller en av gradienterna försvinner (citera?), för vissa λ ∈ $displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ , $J=\{x\in M\mid \nabla {f(x)}+\lambda \nabla {g(x)}=0{\mbox{ eller }}\lambda \nabla {f(x) }+\nabla {g(x)}=0\}.$

På motsvarande sätt kan Jacobi-mängden beskrivas som samlingen av kritiska punkter i familjen av funktioner $f+\lambda g$ , för vissa $\lambda \in \mathbb {R}$ , $J=\{x\in M\mid x{\mbox{ är en kritisk punkt för }}f+\lambda g{\mbox{ eller }}\lambda f+g\}.$