Isotypisk representation

I gruppteorin är en isotypisk , primär eller faktorrepresentation av en grupp G en enhetsrepresentation $\pi :G\longrightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H} })$ så att alla två underrepresentationer har likvärdiga underrepresentationer. Detta är relaterat till föreställningen om en primär eller faktorrepresentation av en C*-algebra , eller till faktorn för en von Neumann-algebra : representationen $\pi$ av G är isotypisk iff ${\ displaystyle \pi (G)^{''}}$ är en faktor.

Denna term används mer allmänt i samband med halvenkla moduler .

Fast egendom

En av de intressanta egenskaperna med denna uppfattning ligger i det faktum att två isotypiska representationer är antingen kvasi-ekvivalenta eller disjunkta (i analogi med det faktum att irreducerbara representationer antingen är enhetligt ekvivalenta eller disjunkta).

Detta kan förstås genom överensstämmelsen mellan faktorrepresentationer och minimal central projektion (i en von Neumann-algebra). Två minimala centrala projektioner är då antingen lika eller ortogonala.

Exempel

Låt G vara en kompakt grupp. En följd av Peter–Weyl-satsen har att varje enhetsrepresentation $\pi :G\longrightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ på en separerbar Hilbert space ${\mathcal {H}}$ är en möjligen oändlig direkt summa av ändliga dimensionella irreducerbara representationer. En isotypisk representation är vilken direkt summa som helst av ekvivalenta irreducerbara representationer som förekommer (vanligtvis flera gånger) i ${\mathcal {H}}$ .

Bibliografi

•   Deitmar, A.; Echterhoff, S. (2014). Principer för harmonisk analys . Universitext. Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-05792-7 .
•    Dixmier, Jacques (1982). C*-algebror . North-Holland Publ. Co. ISBN 0-444-86391-5 . OCLC 832825844 .

Vidare läsning

• Mackey
• "Lie Groups", Claudio Procesi, def. sid. 156.
• "Grupp och symmetrier", Yvette Kosmann-Schwarzbach