Isofoto

ellipsoid med isofoter (röd)

Inom geometrin är en isofot en kurva på en upplyst yta som förbinder punkter med lika ljusstyrka . Man antar att belysningen görs av parallellt ljus och ljusstyrkan b mäts av följande skalära produkt :

$b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi$

där ${\vec {n}}(P)$ är enhetsnormalvektorn för ytan i punkten P och ${\vec {v}}$ enhetsvektorn för ljusets riktning. Om b ( P ) = 0 , dvs ljuset är vinkelrät mot ytnormalen, så är punkt P en punkt på ytsiluetten observerad i riktning ${\vec {v}}.$ Ljusstyrka 1 betyder att ljusvektorn är vinkelrät mot ytan. Ett plan har inga isofoter, eftersom varje punkt har samma ljusstyrka.

Inom astronomi är en isofoto en kurva på ett foto som förbinder punkter med lika ljusstyrka.

Tillämpning och exempel

I datorstödd design används isofoter för att optiskt kontrollera jämnheten hos ytanslutningar. För en yta (implicit eller parametrisk), som är tillräckligt differentierbar, beror normalvektorn på de första derivatorna. Följaktligen är isofoternas differentierbarhet och deras geometriska kontinuitet 1 mindre än ytans. Om vid en ytpunkt endast tangentplanen är kontinuerliga (dvs. G1-kontinuerliga), har isofoterna där en kink (dvs. är endast G0-kontinuerliga).

I följande exempel (s. diagram) blandas två korsande Bezier-ytor av en tredje ytlapp. För den vänstra bilden har blandningsytan endast G1-kontakt till Bezier-ytorna och för den högra bilden har ytorna G2-kontakt. Denna skillnad kan inte kännas igen från bilden. Men isofoternas geometriska kontinuitet visar: på vänster sida har de kinks (dvs G0-kontinuitet), och på höger sida är de släta (dvs G1-kontinuitet).

• 

  Isofoter på två Bezier-ytor och en G1-kontinuerlig (vänster) och G2-kontinuerlig (höger) blandningsyta: Till vänster har isofoterna veck och är släta till höger

Att bestämma punkter för en isofot

på en implicit yta

För en implicit yta med ekvation $f(x,y,z)=0$ är isofotvillkoret

${\frac {\nabla f\cdot {\vec {v}}}{|\nabla f|}}=c\ .$

Det betyder: punkter i en isofot med given parameter $c$ är lösningar av det icke-linjära systemet

• $\ f(x,y,z)=0,\qquad \nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}-c\;|\nabla f(x,y ,z)|=0\ ,$

som kan betraktas som skärningskurvan för två implicita ytor. Med hjälp av spårningsalgoritmen från Bajaj et al. (se referenser) kan man beräkna en polygon av punkter.

på en parametrisk yta

I fallet med en parametrisk yta ${\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)$ är isofottillståndet

${\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S }}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ .$

vilket motsvarar

• $\ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S} }_{s}\ gånger {\vec {S}}_{t}|=0\ .$

Denna ekvation beskriver en implicit kurva i st-planet, som kan spåras av en lämplig algoritm (se. implicit kurva ) och transformeras av ${\vec {S}}(s,t )$ till ytpunkter.

Se även

• Konturlinje

•   J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6 , sid. 31.
•   Z. Sun, S. Shan, H. Sang et al.: Biometric Recognition , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4 , sid. 158.
• CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch, JEH Hopcroft: Tracing Surface Intersections , (1988) Comp. Hjälpte Geom. Design 5, s. 285–307.
•   CT Leondes: Computer Aided and Integrated Manufacturing Systems: Optimization methods, Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4 , sid. 209.

externa länkar

• Patrikalakis-Maekawa-Cho: Isophotes (eng.)
• A. Diatta, P. Giblin: Geometry of Isophote Curves
• Jin Kim: Computing Isophotes of Surface of Revolution och Canal Surface