Inverterad Dirichlet-fördelning

I statistiken är den inverterade Dirichlet-fördelningen en multivariat generalisering av beta-primfördelningen och är relaterad till Dirichlet-fördelningen . Den beskrevs första gången av Tiao och Cuttman 1965.

Fördelningen har en densitetsfunktion som ges av

$p\left(x_{1},\ldots ,x_{k}\right)={ \frac {\Gamma \left(\nu _{1}+\cdots +\nu _{k+1}\right)}{\prod _{j=1}^{k+1}\Gamma \left( \nu _{j}\right)}}x_{1}^{\nu _{1}-1}\cdots x_{k}^{\nu _{k}-1}\times \left(1+ \sum _{i=1}^{k}x_{i}\right)^{-\summa _{j=1}^{k+1}\nu _{j}},\qquad x_{i} >0.$

Fördelningen har tillämpningar i statistisk regression och uppstår naturligt när man betraktar den multivariata Studentfördelningen . Det kan kännetecknas av sina blandade ögonblick :

$E\left[\prod _{i=1}^{k}x_{i}^{q_{i}}\right]={\frac {\Gamma \left(\nu _{ k+1}-\summa _{j=1}^{k}q_{j}\right)}{\Gamma \left(\nu _{k+1}\right)}}\prod _{j= 1}^{k}{\frac {\Gamma \left(\nu _{j}+q_{j}\right)}{\Gamma \left(\nu _{j}\right)}}$

förutsatt att $q_{j}>-\nu _{j},1\leqslant j\leqslant k$ och $\nu _{k+1}>q_{1}+\ldots +q_{k}$ .

Den inverterade Dirichlet-fördelningen konjugeras till den negativa multinomialfördelningen om en generaliserad form av oddskvot används istället för kategoriernas sannolikheter - om den negativa multinomialparametervektorn ges av $p$ , genom att ändra parametrar för det negativa multinomialet till $x_{i}={\frac {p_{i}}{p_{0}}},i=1\ldots k$ där $p_{0}=1-\summa _{i=1}^{k}p_{i}$ .

T. Bdiri et al. har utvecklat flera modeller som använder den inverterade Dirichlet-fördelningen för att representera och modellera icke-Gaussisk data. De har introducerat finita och oändliga blandningsmodeller av inverterade Dirichlet-fördelningar med hjälp av Newton-Raphson -tekniken för att uppskatta parametrarna och Dirichlet-processen för att modellera oändliga blandningar. T. Bdiri et al. har också använt den inverterade Dirichlet-distributionen för att föreslå ett tillvägagångssätt för att generera Support Vector Machine- kärnor baserat på Bayesiansk slutledning och en annan metod för att etablera hierarkisk klustring .