Individuella stycken set
I teorin om rättvis kakskärning är uppsättningen individuella bitar (IPS) ett geometriskt objekt som representerar alla möjliga nyttovektorer i kakpartitioner.
Exempel
Anta att vi har en tårta gjord av fyra delar. Det finns två personer, Alice och George, med olika smak: varje person värderar de olika delarna av kakan olika. Tabellen nedan beskriver delarna och deras värden.
| Choklad | Citron | Vanilj | Körsbär | |
|---|---|---|---|---|
| Alices värde | 18 | 9 | 1 | 2 |
| Georges värde | 18 | 0 | 4 | 8 |
Kakan kan delas på olika sätt. Varje division (Alice's-bit, George's-piece) ger en annan nytto-vektor (Alice's utility, George's-hjälp). IPS är uppsättningen av verktygsvektorer för alla möjliga partitioner.
IPS för exempelkakan visas till höger.
Egenskaper
IPS är ett konvext set och ett kompakt set . Detta följer av Dubins-Spaniers satser .
Med två agenter är IPS symmetrisk över mittpunkten (i detta fall är det punkten (15,15)). Ta lite int på IPS. Denna punkt kommer från någon partition. Byt bitarna mellan Alice och George. Sedan är Alices nya verktyg 30 minus hennes tidigare verktyg, och Georges nya verktyg är 30 minus hans tidigare verktyg, så den symmetriska punkten ( är även på IPS.
Den övre högra gränsen för IPS är Pareto-gränsen – det är uppsättningen av alla Pareto-effektiva partitioner. Med två agenter kan denna gräns konstrueras på följande sätt:
- Beställ tårtbitarna i stigande ordning efter förhållandet marginalnytta (Georges nytta / Alices nytta). I exemplet ovan skulle ordningen vara: Citron (0), Choklad (1), Vanilj+Körsbär (4).
- Börja vid den punkt där all kaka ges till George (0,30).
- Flytta varje tårtbit i ordning från George till Alice; dra en linje vars lutning är motsvarande nyttoförhållande.
- Avsluta vid den punkt där all kaka ges till Alice (30,0).
Historia
IPS introducerades som en del av Dubins-Spanier-satserna och användes i beviset för Wellers sats . Termen "Individual Pieces set" myntades av Julius Barbanel.