Icke-klämningssats

Den icke-klämmande satsen , även kallad Gromovs icke-klämningssats , är en av de viktigaste satserna i symplektisk geometri . Det bevisades första gången 1985 av Mikhail Gromov . Satsen säger att man inte kan bädda in en boll i en cylinder via en symplektisk karta om inte kulans radie är mindre än eller lika med cylinderns radie. Satsen är viktig eftersom man tidigare mycket lite visste om geometrin bakom symplektiska kartor.

En enkel konsekvens av att en transformation är symplektisk är att den bevarar volymen . Man kan enkelt bädda in en boll med vilken radie som helst i en cylinder med vilken annan radie som helst genom en volymbevarande transformation: bara bild när man klämmer in bollen i cylindern (därav namnet icke-klämningssats). Således säger icke-klämningssatsen oss att även om symplektiska transformationer är volymbevarande, är det mycket mer restriktivt för en transformation att vara symplektisk än att den är volymbevarande.

Bakgrund och uttalande

Vi börjar med att överväga de symboliska utrymmena

$\mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\},$

kulan med radie R : $B(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:\| z\|<R\},$

och cylindern med radien r : $Z(r)=\{z\in \mathbb {R} ^ {2n}:x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<r^{2}\},$

var och en utrustad med den symboliska formen

$\omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\cdots +dx_{n}\wedge dy_{n}.$

Notera: Valet av axlar för cylindern är inte godtyckligt med tanke på den fasta symboliska formen ovan; nämligen cylinderns cirklar var och en ligger i ett symplektiskt delrum av $\mathbb {R} ^{2n}$ .

Icke-squeezing-satsen säger oss att om vi kan hitta en symplektisk inbäddning φ : B ( R ) → Z ( r ) så är R ≤ r .

Den "sympletiska kamelen"

Gromovs non-squeezing theorem har också blivit känd som principen för den symplektiska kamelen sedan Ian Stewart hänvisade till den genom att anspela på liknelsen om kamelen och nålsögat . Som Maurice A. de Gosson säger:

Nu, varför hänvisar vi till en symbolisk kamel i titeln på denna artikel? Detta beror på att man kan upprepa Gromovs teorem på följande sätt: det finns inget sätt att deformera en fasrymdkula med hjälp av kanoniska transformationer på ett sådant sätt att vi kan få den att passera genom ett hål i ett plan med konjugerade koordinater x j $displaystyle x_{j}}$ , $p_{j}$ om arean på det hålet är mindre än den för bollens tvärsnitt.

— Maurice A. de Gosson, The Symplectic Camel and the Uncertainty Principle: The Tip of an Iceberg?

Liknande:

Intuitivt kan en volym i fasrymden inte sträckas med avseende på ett visst symplektiskt plan mer än dess "symplektiska bredd" tillåter. Det är med andra ord omöjligt att klämma in en symplektisk kamel i nålsögat, om nålen är tillräckligt liten. Detta är ett mycket kraftfullt resultat, som är intimt knutet till systemets Hamiltonska natur, och är ett helt annat resultat än Liouvilles sats, som bara intresserar den totala volymen och inte utgör någon begränsning av formen .

— Andrea Censi, Symplektiska kameler och osäkerhetsanalys

De Gosson har visat att non-squeezing theorem är nära kopplat till Robertson–Schrödinger–Heisenberg-ojämlikheten, en generalisering av Heisenbergs osäkerhetsrelation . Ojämlikheten Robertson –Schrödinger–Heisenberg säger att:

$var(Q)var(P)\geq cov^{2}(Q,P )+\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}$

med Q och P de kanoniska koordinaterna och var och cov varians- och kovariansfunktionerna.

Vidare läsning

• Maurice A. de Gosson : The symplectic egg , arXiv:1208.5969v1 , inlämnat den 29 augusti 2012 – innehåller ett bevis på en variant av satsen för fallet med linjära kanoniska transformationer
• Dusa McDuff : Vad är symplektisk geometri? , 2009