Hyperbolisk sektor

En hyperbolisk sektor är en region av det kartesiska planet som begränsas av en hyperbel och två strålar från ursprunget till det. Till exempel, de två punkterna $(a, 1/ a)$ och $(b, 1/ b)$ på den rektangulära hyperbeln $xy = 1$ , eller motsvarande region när denna hyperbel omskalas och dess orientering ändras genom en rotation som lämnar centrum vid origo, som med enheten hyperbel . En hyperbolisk sektor i standardposition har $a = 1$ och $b > 1$ .

Hyperboliska sektorer är grunden för de hyperboliska funktionerna .

Område

Hyperbolsektorområdet bevaras genom squeeze-mappning , visat pressande rektanglar och rotation av en hyperbolisk sektor

Arean av en hyperbolisk sektor i standardposition är naturlig logaritm av b .

Bevis: Integrera under 1/ x från 1 till b , addera triangeln {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} och subtrahera triangeln {(0, 0), ( b , b, 0), (b, 1/b)}.

När den är i standardposition motsvarar en hyperbolisk sektor en positiv hyperbolisk vinkel vid origo, där måttet på den senare definieras som arean av den förra.

Hyperbolisk triangel

Hyperbolisk triangel (gul) och hyperbolisk sektor (röd) motsvarande hyperbolisk vinkel u , till den rektangulära hyperbeln (ekvation y = 1/ x ). Triangelns ben är √ 2 gånger de hyperboliska cosinus- och sinusfunktionerna .

När den är i standardposition bestämmer en hyperbolisk sektor en hyperbolisk triangel , den räta triangeln med en vertex i origo, bas på diagonalstrålen y = x , och tredje vertex på hyperbeln

xy=1,\,

där hypotenusan är segmentet från origo till punkten ( x, y ) på hyperbeln. Längden på basen av denna triangel är

{\sqrt {2}}\cosh u,\,

och höjden är

{\sqrt {2}}\sinh u,\,

där u är den lämpliga hyperboliska vinkeln .

Analogin mellan cirkulära och hyperboliska funktioner beskrevs av Augustus De Morgan i hans Trigonometry and Double Algebra ( 1849). William Burnside använde sådana trianglar, som projicerade från en punkt på hyperbeln xy = 1 till huvuddiagonalen, i sin artikel "Note on the addition theorem for hyperbolic functions".

Hyperbolisk logaritm

Enhetsarea när b = e som utnyttjas av Euler.

Det är känt att f( x ) = x ^p har en algebraisk antiderivata förutom i fallet p = –1 som motsvarar kvadraturen för hyperbeln. De andra fallen ges av Cavalieris kvadraturformel . Medan kvadraturen av parabeln hade uppnåtts av Arkimedes under det tredje århundradet f.Kr. (i The Quadrature of the Parabola ), krävde den hyperboliska kvadraturen att en ny funktion uppfanns 1647: Gregoire de Saint-Vincent tog upp problemet med att beräkna de avgränsade områdena av en hyperbel. Hans upptäckter ledde till den naturliga logaritmfunktionen, en gång kallad hyperbolisk logaritm eftersom den erhålls genom att integrera, eller hitta arean, under hyperbeln.

Före 1748 och publiceringen av Introduction to the Analysis of the Infinite var den naturliga logaritmen känd i termer av arean av en hyperbolisk sektor. Leonhard Euler ändrade det när han introducerade transcendentala funktioner som 10 ^x . Euler identifierade e som värdet av b som producerar en enhet av area (under hyperbeln eller i en hyperbolisk sektor i standardposition). Då skulle den naturliga logaritmen kunna kännas igen som den inversa funktionen till den transcendentala funktionen e ^x .

Hyperbolisk geometri

När Felix Klein skrev sin bok om icke-euklidisk geometri 1928, gav han en grund för ämnet med hänvisning till projektiv geometri . För att fastställa hyperboliskt mått på en linje, noterade han att området för en hyperbolisk sektor gav visuell illustration av konceptet.

Hyperboliska sektorer kan också ritas till hyperbeln $y={\sqrt {1+x^{2}}}$ . Arean av sådana hyperboliska sektorer har använts för att definiera hyperboliskt avstånd i en geometrilärobok.

Se även

Squeeze mapping

Mellen W. Haskell (1895) Om introduktionen av begreppet hyperboliska funktioner Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9.