0 Inom matematik är Humbert-serier en uppsättning av sju hypergeometriska serier Φ 1 , Φ 2 , Φ 3 , Ψ 1 , Ψ 2 , Ξ 1 , Ξ 2 av två variabler som generaliserar Kummers konfluenta hypergeometriska serie 1 F 1 den konfluenta variabeln och hypergeometrisk gränsfunktion F 1 av en variabel. Den första av dessa dubbelserier introducerades av Pierre Humbert ( 1920 ).
Definitioner
Humbert-serien Φ 1 är definierad för | x | < 1 av dubbelserien:
Φ
1
( a , b , c ; x , y ) =
F
1
( a , b , − , c ; x , y ) =
∑
m , n =
0
∞
( a
)
m + n
( b
)
m
( c
)
m + n
m ! n !
x
m
y
n
,
{\displaystyle \Phi _{1}(a,b,c;x,y)=F_{1}(a,b,-,c;x,y)=\summa _{m, n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}} \,x^{m}y^{n}~,}
där Pochhammer-symbolen ( q ) n
( q
)
n
= q ( q + 1 ) ⋯ ( q + n − 1 ) =
Γ ( q + n )
Γ ( q )
,
{\displaystyle (q)_{n}=q\,(q+1) \cdots (q+n-1)={\frac {\Gamma (q+n)}{\Gamma (q)}}~,}
där den andra likheten är sann för alla komplexa
q
{\displaystyle q}
0
q = , − 1 , − 2 , …
{\displaystyle q=0,-1,-2,\ldots }
För andra värden på x kan funktionen Φ 1 definieras genom analytisk fortsättning .
Humbert-serien Φ 1 kan också skrivas som en endimensionell integral av Euler -typ :
0
Φ
1
( a , b , c ; x , y ) =
Γ ( c )
Γ ( a ) Γ ( c − a )
0
∫
1
t
a − 1
( 1 − t
)
c − a − 1
( 1 − x t
)
− b
e
y t
d
t , ℜ c > ℜ a > .
{\displaystyle \Phi _{1}(a,b,c;x,y)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (ca)}}\int _{0} ^{1}t^{a-1}(1-t)^{ca-1}(1-xt)^{-b}e^{yt}\,\mathrm {d} t,\quad \Re \,c>\Re \,a>0~.}
Denna representation kan verifieras med hjälp av Taylor-expansion av integranden, följt av termisk integration.
definieras funktionen Φ 2 för alla x , y av serien:
Φ
2
(
b
1
,
b
2
, c ; x , y ) =
F
1
( − ,
b
1
,
b
2
, c ; x , y ) =
∑
m , n =
0
∞
(
b
1
)
m
(
b
2
)
n
( c
)
m + nm
! _ n !
x
m
y
n
,
{\displaystyle \Phi _{2}(b_{1},b_{2},c;x,y)=F_{1}(-,b_{1},b_{2},c ;x,y)=\summa _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c) _{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
funktionen Φ 3 för alla x , y av serien:
Φ
3
( b , c ; x , y ) =
Φ
2
( b , − , c ; x , y ) =
F
1
( − , b , − , c ; x , y ) =
∑
m , n =
0
∞
( b )
)
m
( c
)
m + n
m ! n !
x
m
y
n
,
{\displaystyle \Phi _{3}(b,c;x,y)=\Phi _{2}(b,-,c;x,y)=F_{1}(-,b ,-,c;x,y)=\summa _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m !\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
funktionen Ψ 1 för | x | < 1 av serien:
Ψ
1
( a , b ,
c
1
,
c
2
; x , y ) =
F
2
( a , b , − ,
c
1
,
c
2
; x , y ) =
∑
m , n =
0
∞
( a
)
m + n
( b
)
m
(
c
1
)
m
(
c
2
)
n
m ! n !
x
m
y
n
,
{\displaystyle \Psi _{1}(a,b,c_{1},c_{2};x,y)=F_{2}(a,b,-,c_{1}, c_{2};x,y)=\summa _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m}}{(c_{ 1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
funktionen Ψ 2 för alla x , y av serien:
Ψ
2
( a ,
c
1
,
c
2
; x , y ) =
Ψ
1
( a , − ,
c
1
,
c
2
; x , y ) =
F
2
( a , − , − ,
c
1
,
c
2
; x , y ) =
F
4
( a , − ,
c
1
,
c
2
; x , y ) =
∑
m , n =
0
∞
( a
)
m + n
(
c
1
)
m
(
c
2
)
n
m ! n !
x
m
y
n
,
{\displaystyle \Psi _{2}(a,c_{1},c_{2};x,y)=\Psi _{1}(a,-,c_{1},c_{ 2};x,y)=F_{2}(a,-,-,c_{1},c_{2};x,y)=F_{4}(a,-,c_{1},c_{ 2};x,y)=\summa _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}}{(c_{1})_{m}(c_ {2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
funktionen Ξ 1 för | x | < 1 av serien:
Ξ
1
(
a
1
,
a
2
, b , c ; x , y ) =
F
3
(
a
1
,
a
2
, b , − , c ; x , y ) =
∑
m , n =
0
∞
(
a
1
)
m
(
a
2
)
n
( b
)
m
( c
)
m + n
m ! n !
x
m
y
n
,
{\displaystyle \Xi _{1}(a_{1},a_{2},b,c;x,y)=F_{3}(a_{1},a_{2},b ,-,c;x,y)=\summa _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{m}(a_{2})_{n}( b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
och funktionen Ξ 2 för | x | < 1 av serien:
Ξ
2
( a , b , c ; x , y ) =
Ξ
1
( a , − , b , c ; x , y ) =
F
3
( a , − , b , − , c ; x , y ) =
∑
m , n =
0
∞
( a
)
m
( b
)
m
( c
)
m + n
m ! n !
x
m
y
n
.
{\displaystyle \Xi _{2}(a,b,c;x,y)=\Xi _{1}(a,-,b,c;x,y)=F_{3}(a,-, b,-,c;x,y)=\summa _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m}(b)_{m}}{(c)_ {m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~.}
Relaterad serie
Det finns fyra relaterade serier med två variabler, F 1 , F 2 , F 3 , och F 4 , som generaliserar Gauss hypergeometriska serie 2 F 1 av en variabel på ett liknande sätt och som introducerades av Paul Émile Appell år 1880.
Appell, Paul ; Kampé de Fériet, Joseph (1926). Funktioner hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (på franska). Paris: Gauthier–Villars. JFM 52.0361.13 . (se sid. 126)
Bateman, H .; Erdélyi, A. (1953). Higher Transcendental Functions, Vol. Jag (PDF) . New York: McGraw-Hill. (se sid. 225)
Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [oktober 2014]. "9.26.". I Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (red.). Tabell över integraler, serier och produkter Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 LCCN 2014010276 .
Humbert, Pierre (1920). "Sur les fonctions hypercylindriques". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (på franska). 171 : 490–492. JFM 47.0348.01 .
