Hrushovski konstruktion

I modellteorin , en gren av matematisk logik , generaliserar Hrushovski-konstruktionen Fraïssé-gränsen genom att arbeta med en föreställning om stark understruktur $\leq$ snarare än $\subseteq$ . Det kan ses som ett slags "modellteoretisk forcering", där en (oftast) stabil struktur skapas, kallad den generiska eller rika modellen. Detaljerna för $\leq$ bestämmer olika egenskaper hos generikan, där dess geometriska egenskaper är av särskilt intresse. Den användes ursprungligen av Ehud Hrushovski för att skapa en stabil struktur med en "exotisk" geometri, och därigenom motbevisa Zil'bers gissning.

Tre gissningar

De första tillämpningarna av Hrushovski-konstruktionen tillbakavisade två gissningar och besvarade en tredje fråga nekande. Specifikt har vi:

• Lachlans gissning. Varje stabil $\aleph _{0}$ -kategorisk teori är helt transcendental.

• Zil'bers gissning. Varje oräkneligt kategorisk teori är antingen lokalt modulär eller tolkar ett algebraiskt slutet fält.

• Cherlins fråga. Finns det en maximal (med avseende på expansioner) starkt minimal uppsättning?

Konstruktionen

Låt L vara ett ändligt relationsspråk. Fixa C en klass av ändliga L -strukturer som är slutna under isomorfismer och substrukturer. Vi vill stärka begreppet understruktur; låt $\leq$ vara en relation på par från C som uppfyller:

• $A\leq B$ innebär $A\subseteq B.$
• $A\subseteq B\subseteq C$ och $A\leq C$ innebär $A\leq B$
• $\varnothing \leq A$ för alla $A\in \mathbf {C} .$
• $A\leq B$ innebär $A\cap C\leq B\cap C$ för alla $C\in \mathbf {C} .$
• Om $f\colon A\to A'$ är en isomorfism och $A\leq B$ , då sträcker sig $f$ till en isomorfism $B\to B'$ för någon överuppsättning av $\displaystyle B}$$A'\leq B'.$ med

Definition. En inbäddning $f:A\hookrightarrow D$ är stark om $f(A)\leq D.$

Definition. Paret $(\mathbf {C} ,\leq )$ har sammanslagningsegenskapen om $A\leq B_{1},B_{2}$ då det finns en $D\in \mathbf {C}$ så att varje $B_{i}$ bäddas in starkt i $D$ med samma bild för $A.$

Definition. För oändliga $D$ och $A\in \mathbf {C} ,$ säger vi $A\leq D$ om $A\leq X$ för $A\subseteq X\subseteq D,X\in \mathbf {C} .$

Definition. För alla $A\subseteq D,$ stängningen av A $\displaystyle A}$ i $D,$ betecknad med $\operatorname {cl} _{D}(A),$ är den minsta supermängden av $A$ som uppfyller $\operatörsnamn {cl} (A)\leq D.$

Definition. En räknebar struktur $G$ är $(\mathbf {C} ,\leq )$ -generisk om:

• För $A\subseteq _{\omega }G,A\in \mathbf {C} .$

• För $A\leq G,$ om $A\leq B$ då det finns en stark inbäddning av $B$ i $G$ över $A.$

• $G$ har ändliga stängningar: för varje $A\subseteq _{\omega }G,\operatörsnamn {cl} _{G }(A)$ är ändlig.

Sats. Om $(\mathbf {C} ,\leq )$ har sammanslagningsegenskapen, så finns det en unik $(\mathbf {C} ,\leq )$ - generisk.

Existensbeviset fortsätter som en imitation av existensbeviset för Fraïssé-gränser. Det unika beviset kommer från ett lätt fram och tillbaka argument.