Hoppning med variabel räckvidd

Hoppning med variabelt intervall är en modell som används för att beskriva transport av bärare i en oordnad halvledare eller i amorft fast ämne genom hoppning i ett utökat temperaturområde. Den har ett karakteristiskt temperaturberoende på

$\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{\beta }}$

där $\sigma$ är konduktiviteten och $\beta$ är en parameter som är beroende av modellen i fråga.

Mott variabelt intervall hoppning

Mott hopp variabelt intervall med beskriver lågtemperaturledning i starkt oordnade system med lokaliserade laddningsbärartillstånd och har ett karakteristiskt temperaturberoende på

$\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/4}}$

för tredimensionell konduktans (med $\beta$ = 1/4), och är generaliserad till d -dimensioner

$\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/(d+1) }}$ .

Hoppledning vid låga temperaturer är av stort intresse på grund av de besparingar som halvledarindustrin skulle kunna uppnå om de kunde ersätta enkristallenheter med glasskikt.

Härledning

Det ursprungliga Mott-papperet introducerade ett förenklat antagande att hoppenergin beror omvänt på kuben för hoppavståndet (i det tredimensionella fallet). Senare visades att detta antagande var onödigt, och detta bevis följs här. I den ursprungliga artikeln sågs hoppsannolikheten vid en given temperatur bero på två parametrar, R den rumsliga separationen av platserna och W , deras energiseparation. Apsley och Hughes noterade att i ett verkligt amorft system är dessa variabler slumpmässiga och oberoende och kan därför kombineras till en enda parameter, intervallet R $\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$ mellan två platser, vilket bestämmer sannolikheten att hoppa mellan dem.

Mott visade att sannolikheten för att hoppa mellan två tillstånd av rumslig separation $\textstyle R$ och energiseparation W har formen:

$P\sim \exp \left[-2\alpha R-{\frac {W}{kT}}\right]$

där α ⁻¹ är dämpningslängden för en väteliknande lokaliserad vågfunktion. Detta förutsätter att hoppning till ett tillstånd med högre energi är den hastighetsbegränsande processen.

Vi definierar nu ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}=2\alpha R+W/kT} ,$ intervallet mellan två tillstånd, så $\textstyle P\sim \exp(-{\mathcal {R}})$ . Tillstånden kan betraktas som punkter i en fyrdimensionell slumpmässig matris (tre rumsliga koordinater och en energikoordinat), med "avståndet" mellan dem givet av området $\textstyle {\mathcal {R}}$ .

Ledning är resultatet av många serier av hopp genom denna fyrdimensionella array och eftersom hopp med kort räckvidd gynnas är det det genomsnittliga närmaste "avståndet" mellan tillstånden som bestämmer den totala konduktiviteten. Sålunda har konduktiviteten formen

$\sigma \sim \exp(-{\overline {\mathcal {R}}}_{nn})$

där $\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}$ är det genomsnittliga intervallet för närmaste granne. Problemet är därför att beräkna denna kvantitet.

Det första steget är att erhålla ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})} ,$ det totala antalet tillstånd inom ett intervall $\textstyle {\mathcal {R}}$ av något initialt tillstånd på Fermi-nivån. För d -dimensioner, och under särskilda antaganden, visar sig detta vara

${\mathcal {N}}({\mathcal {R}})=K{\mathcal {R}}^{d+1}$

där $\textstyle K={\frac {N\pi kT}{3\ gånger 2^{d}\alpha ^{d}}}$ . De särskilda antagandena är helt enkelt att $\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}$ är mycket mindre än bandbredden och bekvämt större än det interatomära avståndet.

Då är sannolikheten att ett tillstånd med intervallet $\textstyle {\mathcal {R}}$ är närmaste granne i det fyrdimensionella rummet (eller i allmänhet det ( d +1)-dimensionella rummet)

$P_{nn}({\mathcal {R}})={\frac {\partial {\mathcal { N}}({\mathcal {R}})}{\partial {\mathcal {R}}}}\exp[-{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})]$

närmaste grannefördelning.

För det d -dimensionella fallet alltså

${\overline {\mathcal {R}}}_{nn}=\int _{0}^{\infty }(d+1)K{\mathcal {R}}^{d+1}\exp(-K{\mathcal {R}}^{d+1})d{\ mathcal {R}}$ .

Detta kan utvärderas genom att göra en enkel substitution av $\textstyle t=K{\mathcal {R}}^{d+1}$ i gammafunktionen , $\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm { d} t$

Efter lite algebra ger detta

${\overline {\mathcal {R}}}_{nn}={\frac {\Gamma ({\frac {d +2}{d+1}})}{K^{\frac {1}{d+1}}}}$

och därav det

$\sigma \propto \exp \left(-T^{-{\frac {1}{d+1}}}\right)$ .

Icke-konstant täthet av stater

När tillståndstätheten inte är konstant (udda kraftlag N(E)), återvinns också Mott-konduktiviteten, som visas i den här artikeln .

Efros–Shklovskii hoppning med variabel räckvidd

Se även: Coulomb gap

Efros –Shklovskii (ES) hoppning med variabel intervall är en ledningsmodell som står för Coulomb-gapet , ett litet hopp i tätheten av tillstånd nära Fermi-nivån på grund av interaktioner mellan lokaliserade elektroner. Den fick sitt namn efter Alexei L. Efros och Boris Shklovskii som föreslog den 1975.

Beaktandet av Coulomb-gapet ändrar temperaturberoendet till

$\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/2}}$

för alla dimensioner (dvs $\beta$ = 1/2).

Se även

• Mobility edge