Hopplinje

Inom matematiken är en hopplinje eller exceptionell linje av ett vektorknippe över projektivt utrymme en projektiv linje i projektivt utrymme där vektorbunten har exceptionellt beteende, med andra ord strukturen för dess begränsning till linjen "hopp". Hopplinjer introducerades av RLE Schwarzenberger ( 1961 ). Hopplinjerna i en vektorbunt bildar en riktig sluten delmängd av Grassmannian av alla linjer i projektivt rymd.

Birkhoff –Grothendieck-satsen klassificerar de n -dimensionella vektorbuntarna över en projektiv linje som motsvarande oordnade n -tuplar av heltal. Detta fenomen kan inte generaliseras till högre dimensionella projektiva utrymmen, nämligen, man kan inte sönderdela en godtycklig bunt i termer av en Whitney-summa av krafter från den tautologiska bunten , eller i själva verket linjebuntar i allmänhet. Fortfarande kan man få information av denna typ genom att använda följande metod. Givet en bunt på $\mathbb {CP} ^{n}$ , ${\mathcal {E}}$ , kan vi ta en linje $L$ i ${ \displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ , eller motsvarande, ett 2-dimensionellt delrum av $\mathbb {C} ^{n+1}$ . Detta bildar en variant som motsvarar $\mathbb {CP} ^{1}$ inbäddad i $\mathbb {CP} ^{n}$ , så vi kan begränsningen av ${ \displaystyle {\mathcal {E}}_{L}}$ till $L$ , och det kommer att brytas ned av Birkhoff–Grothendieck-satsen som en summa av potenser av den tautologiska bunten. Det kan visas att den unika tupel av heltal som specificeras av denna uppdelning är densamma för ett "generiskt" val av linje. Mer tekniskt sett finns det en icke-tom, öppen undervarietet av Grassmannian av linjer i $\mathbb {CP} ^{n}$ , med nedbrytning av samma typ. Linjer så att sönderdelningen skiljer sig från denna generiska typ kallas "hoppningslinjer". Om bunten är generiskt trivial längs linjer, så är de hoppande linjerna just de linjerna så att begränsningen är icke-trivial.

Exempel

Antag att V är ett 4-dimensionellt komplext vektorrum med en icke-degenererad skevningssymmetrisk form. Det finns ett vektorknippe med rang 2 över det 3-dimensionella komplexa projektiva utrymmet associerat med V , som tilldelar varje linje L i V det 2-dimensionella vektorutrymmet L ^⊥ / L . Då motsvarar ett V- plan en hopplinje för denna vektorbunt om och bara om den är isotropisk för den skevsymmetriska formen.

•    Mulase, Motohico (1979), "Poler av instantons och hoppande linjer av algebraiska vektorbuntar på P³", Japan Academy. Förfaranden. Series A. Mathematical Sciences , 55 (5): 185–189, ISSN 0386-2194 , MR 0533544
•    Schwarzenberger, RLE (1961), "Vektorbuntar på algebraiska ytor", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 11 : 601–622, doi : 10.1112/plms/s3-11.1.601 , ISSN 0024-601 , ISSN 10024-61 , 71 1024-6
•    ) , "Vector bundles on the projective plane", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 11 : 623–640, doi : 10.1112/plms/s3-11.1.623 , ISSN 05024-61 0137712