Helmholtz teorem (klassisk mekanik)

Helmholtz -satsen för klassisk mekanik lyder som följer:

Låta

H(x,p;V)=K(p)+\varphi (x;V)

vara Hamiltonian för ett endimensionellt system, där

K={\frac {p^{2}}{2m}}

är den kinetiska energin och

\varphi (x;V)

är en "U-formad" potentiell energiprofil som beror på en parameter

V

. Låt

\left\langle \cdot \right\rangle _{t}

beteckna tidsgenomsnittet. Låta

$E=K+\varphi ,$
$T=2\left\langle K\right\rangle _{t},$
$P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t},$
$S(E,V)=\log \oint {\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}\,dx.$

Sedan

dS={\frac {dE+PdV}{T}}.

Anmärkningar

Teorem av denna klassiska mekaniks sats läser exakt som termodynamikens värmesats . Detta faktum visar att termodynamiska förhållanden existerar mellan vissa mekaniska storheter. Detta i sin tur gör det möjligt att definiera det "termodynamiska tillståndet" för ett endimensionellt mekaniskt system. I synnerhet temperaturen $T$ av tidsmedelvärdet för den kinetiska energin och entropin $S$ av logaritmen för åtgärden (dvs ${\textstil \oint dx{\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}})$ . Vikten av denna sats har erkänts av Ludwig Boltzmann som såg hur man tillämpar den på makroskopiska system (dvs. flerdimensionella system), för att ge en mekanisk grund för jämviktstermodynamik . Denna forskningsverksamhet var strikt relaterad till hans formulering av den ergodiska hypotesen . En flerdimensionell version av Helmholtz-satsen, baserad på George David Birkhoffs ergodiska teorem , är känd som generaliserad Helmholtz-sats .

Helmholtz, H., von (1884a). Principien der Statik monocyklischer Systeme. Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik , 97, 111–140 (även i Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (s. 142–162, 179–202). Leipzig. Ambrosious Barth).
Helmholtz, H., von (1884b). Studien zur Statik monocyklischer Systeme. Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , I, 159–177 (även i Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (s. 163–178). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
Boltzmann, L. (1884). Über die Eigenschaften monocyklischer und andra damit verwandter Systeme. Crelles Journal , 98: 68–94 (även i Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (Vol. 3, s. 122–152), F. Hasenöhrl (Ed.). Leipzig. Nyutgiven New York: Chelsea, 1969 ).
Gallavotti, G. (1999). Statistisk mekanik: En kort avhandling . Berlin: Springer.
Campisi, M. (2005) On the mechanical foundations of thermodynamics: The generalized Helmholtz theorem Studies in History and Philosophy of Modern Physics 36: 275–290