Haynes–Shockley-experiment

Inom halvledarfysik var Haynes –Shockley-experimentet ett experiment som visade att diffusion av minoritetsbärare i en halvledare kunde resultera i en ström . Experimentet rapporterades i en kort artikel av Haynes och Shockley 1948, med en mer detaljerad version publicerad av Shockley, Pearson och Haynes 1949. Experimentet kan användas för att mäta bärarrörlighet , bärares livslängd och diffusionskoefficient .

I experimentet får en del av halvledaren en puls av hål , till exempel som inducerad av spänning eller en kort laserpuls .

Ekvationer

För att se effekten betraktar vi en halvledare av n-typ med längden d . Vi är intresserade av att bestämma bärarnas rörlighet , diffusionskonstant och relaxationstid . I det följande reducerar vi problemet till en dimension.

Ekvationerna för elektron- och hålströmmar är:

j_{e}=+\mu _{n}nE+D_{n}{\frac {\partial n}{\partial x}}

j_{p}=+\mu _{p}pE-D_{p}{\frac {\partial p}{\partial x} }

där j s är strömtätheterna för elektroner ( e ) och hål ( p ), μ s laddningsbärarnas rörlighet, E är det elektriska fältet , n och p antalet densiteter för laddningsbärare, D s är diffusionskoefficienter , och x är position. Den första termen i ekvationerna är driftströmmen och den andra termen är diffusionsströmmen .

Härledning

Vi betraktar kontinuitetsekvationen :

{\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {-(n-n_{0}) }{\tau _{n}}}+{\frac {\partial j_{e}}{\partial x}}

{\ displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {-(p-p_{0})}{\tau _{p}}}-{\frac {\partial j_{p} }{\partial x}}}

Nedsänkta nollor indikerar jämviktskoncentrationer. Elektronerna och hålen rekombinerar med bärarens livslängd τ.

Vi definierar

p_{1}=p-p_{0}\,,\quad n_{1}=n-n_{0}

så de övre ekvationerna kan skrivas om som:

{\frac {\partial p_{1} }{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}p_{1}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\ partiell E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p_{1}}{\partial x}}-{\frac {p_{1}}{\tau _{p }}}

{\frac n_{1}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{1}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{ \frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{1}}{\partial x}}-{\frac {n_{1}}{\ tau _{n}}}

I en enkel approximation kan vi betrakta det elektriska fältet som konstant mellan vänster och höger elektrod och försumma ∂ E /∂ x . Men eftersom elektroner och hål diffunderar med olika hastigheter har materialet en lokal elektrisk laddning, vilket inducerar ett inhomogent elektriskt fält som kan beräknas med Gauss lag :

{\frac {\partial E}{\partial x}}={\frac {\rho }{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}((p-p_{0})-(n-n_{0})) }{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}(p_{1}-n_{1})}{\epsilon \epsilon _{0}}}

₀₀ där ε är permittivitet, ε permittivitet för ledigt utrymme, ρ är laddningstäthet och e elementär laddning.

Ändra sedan variabler genom substitutionerna:

p_{1}=n_{\text{mean}}+\delta \,,\quad n_{1}=n_{\text{ medel}}-\delta \,,

och anta att δ är mycket mindre än $n_{\text{mean}}$ . De två initiala ekvationerna skriver:

{\frac {\partial n_{\text {mean}}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu _{ p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{p}}}

{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{\text {mean}}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\ partiell n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{n}}}

Genom att använda Einstein-relationen ${\displaystyle \mu =e\beta D} ,$ där β är inversen av produkten av temperaturen och Boltzmann-konstanten , kan dessa två ekvationer kombineras:

{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\ partiell t}}=D^{*}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu ^{*}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau ^{*}}},

där för D * gäller μ* och τ*:

D^{*}={\frac {D_{n}D_{p}(n+p)}{pD_{p }+nD_{n}}}

,

\mu ^{*}={\frac {\mu _{n}\ mu _{p}(np)}{p\mu _{p}+n\mu _{n}}}

och

{\frac {1}{\tau ^{*}}}={\frac {p\mu _{p}\tau _{p}+n\mu _{n}\tau _{n} }{\tau _{p}\tau _{n}(p\mu _{p}+n\mu _{n})}}.

Med tanke på n >> p eller p → 0 (det är en rättvis approximation för en halvledare med endast ett fåtal hål injicerade), ser vi att D * → D _p , μ* → μ _p och 1/τ* → 1/τ _p . Halvledaren beter sig som om det bara fanns hål i den.

Den slutliga ekvationen för bärarna är:

n_{\text{mean}}( x,t)=A{\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{*}t}}}e^{-t/\tau ^{*}}e^{-{\frac {( x+\mu ^{*}Et-x_{0})^{2}}{4D^{*}t}}}

Detta kan tolkas som en Dirac deltafunktion som skapas direkt efter pulsen. Hål börjar sedan färdas mot elektroden där vi upptäcker dem. Signalen är då Gaussisk kurvformad.

Parametrarna μ, D och τ kan erhållas från formen på signalen.

\mu ^{*}={\frac {d}{Et_{0}}}

D^{*}=(\mu ^{*}E)^{2}{\frac {(\delta t)^{2}}{16ln(2)t_{0}}}

₀ där d är avståndet som drivits i tiden t och δt pulsbredden .

Se även

externa länkar