Harrod–Johnson diagram

I tvåsektors makroekonomiska modeller är Harrod–Johnson-diagrammet , ibland kallat Samuelson-Harrod-Johnson-diagrammet , ett sätt att visualisera förhållandet mellan produktionspriskvoterna, insatspriskvoterna och kapitalförhållandet för de två varor. Ofta är varorna en konsumtions- och investeringsvara och detta diagram visar vad som händer med priskvoten om kapitalet förändras. Diagrammet ställer en graf som har ingående prisförhållanden som sin horisontella axel, kapitalkvoter som sin positiva vertikala axel och utgående prisförhållanden som sin negativa vertikala axel. Diagrammet är uppkallat efter ekonomerna Roy F. Harrod och Harry G. Johnson ; Samuelson-Harrod-Johnsons namn är en hänvisning till ekonomen Paul Samuelson . Ekonomen Hirofumi Uzawa , som jämförde Harrod-Johnson-diagrammet med Abba P. Lerners tidigare faktor-prisutjämningssats, ansåg att Lerners var mer exakt och vackrare.

Härledning

Harrod–Johnson-diagram med linjärt samband mellan $k_{i}$ och $\omega$ och ökande samband mellan p och $\omega$ . Här får en ökning av kapitalet att priskvoterna ökar.

Om vara 1 är en investeringsvara som styrs av ekvationen

$Y_{1}=F_{1}(K,L)\,$

och vara 2 är en konsumtionsvara som styrs av ekvationen

$Y_{s}=F_{s}(K,L)\,$ ,

sedan kan hyres- och lönesatser beräknas genom att optimera ett representativt företags vinstfunktion, ge

$p_{1}D_{K}[F_{1}(K,L) ]=r=p_{2}D_{K}[F_{2}(K,L)]\,$

för kapitalhyressatsen, r , och

$p_{1}D_{L}[F_{1}(K,L) ]=w=p_{2}D_{L}[F_{2}(K,L)]\,$

för lönegraden för arbete, w , så är insatsprisförhållandet, $\omega$ ,

$\omega =w/r={\frac {p_{i }D_{L}[F_{i}(K,L)],p_{i}D_{K}[F_{i}(K,L)]}{\,}}$ för $i=\{1,2\}.$

Genom att normalisera denna ekvation genom att låta $k_{i}=K_{i}/L_{i}$ och lösa för $k_{i},$ formlerna som ska ritas i den första kvadranten.

Å andra sidan, normalisering av ekvationen

$p_{1}D_{K}[F_{1}(K,L)]= p_{2}D_{K}[F_{2}(K,L)]$

(eller ${ \displaystyle p_{1}D_{L}[F_{1}(K,L)]=p_{2}D_{L}[F_{2}(K,L)]\,} , vilket förmodligen är likvärdigt$ ) ,

och om man löser prisförhållandet ger $p_{1}/P_{2},$ formeln som ska ritas i den fjärde kvadranten. Att plotta dessa tre funktioner tillsammans visar sambandet.