Halvcirkellag (kvanthalleffekt)

Halvcirkellagen , i den kondenserade materiens fysik , är ett matematiskt förhållande som uppstår mellan kvantiteter uppmätta i kvanthalleffekten . Den beskriver ett förhållande mellan de anisotropa och isotropa komponenterna i den makroskopiska konduktivitetstensorn σ , och när den ritas upp, visas den som en halvcirkel .

Halvcirkellagen beskrevs först teoretiskt i Dykhne och Ruzins analys av kvanthalleffekten som en blandning av 2 faser: en fri elektrongas och en gas med fritt hål . Matematiskt står det det

$$\sigma _{xx}^{2}+(\sigma _{xy}-\sigma _{xy} ^{0})^{2}=(\sigma _{xx}^{0})^{2}$$

där σ är medelfältets Hall-konduktivitet, och σ ⁰ är en parameter som kodar den klassiska konduktiviteten för varje fas. En liknande lag gäller även för resistiviteten .

En bekväm omformulering av lagen blandar konduktivitet och resistivitet:

$$\sigma _{xy}^{0}={\frac {\rho _{xy}^{0}}{(\rho _{xy}^{0})^{2}+(\rho _{xx}^{0})^{2}}}={\frac { e^{2}}{h}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)$$

där n är ett heltal, Hall-delaren .

Även om Dykhne och Ruzins ursprungliga analys antog lite spridning, ett antagande som visade sig empiriskt osunda, håller lagen i de koherenta transportgränser som vanligtvis observeras i experiment.

Teoretiskt sett härstammar halvcirkellagen från en representation av modulgruppen ₀ Γ (2) , som beskriver en symmetri mellan olika Hall-faser. (Observera att detta inte är en symmetri i konventionell mening; det finns ingen konserverad ström .) Den gruppens starka kopplingar till talteorin förekommer också: Hallfasövergångar (i ett enda lager) uppvisar en urvalsregel

$$|pq'-p'q|=1$$

som också styr Farey-sekvensen . Faktum är att diagram av halvcirkellagen också är Farey-diagram .

I randiga kvanthallsfaser är förhållandet något mer komplext på grund av den trasiga symmetrin:

$${\begin{cases}\sigma _{1}\sigma _{2}+(\sigma _{h}-\sigma _{h}^{0})^{2}=(e^{2}/(2h))^{2} \\\sigma _{h}^{0}=(N+1/2)e^{2}/h\end{cases}}$$

Här beskriver σ ₁ och σ ₂ den makroskopiska konduktiviteten i riktningar i linje med och vinkelrät mot ränderna.