Gurneys ekvationer

Gurney -ekvationerna är en uppsättning matematiska formler som används inom sprängämnesteknik för att relatera hur snabbt ett sprängämne kommer att accelerera ett intilliggande lager av metall eller annat material när sprängämnet detonerar. Detta avgör hur snabbt fragment släpps ut av militära sprängämnen, hur snabbt formade laddningssprängämnen accelererar sina liners inåt, och i andra beräkningar som explosiv svetsning där sprängämnen tvingar samman två metallplåtar och binder dem.

Ekvationerna utvecklades först på 1940-talet av Ronald Gurney och har utökats och lagts till avsevärt sedan den tiden. Den ursprungliga artikeln av Gurney analyserade situationen för ett exploderande granat eller bomb, en massa sprängämnen omgiven av ett fast granat. Andra forskare har utvidgat liknande analysmetoder till andra geometrier. Alla ekvationer som härleds utifrån Gurneys metoder kallas gemensamt för "Gurney-ekvationer".

Underliggande fysik

När ett sprängämne intill ett skikt av metalliskt eller annat fast material detonerar, accelereras skiktet både av den initiala detonationschockvågen och av trycket från detonationsgasprodukterna. Gurney utvecklade en enkel och bekväm formel baserad på bevarandelagarna för momentum och energi som modellerar hur energi fördelades mellan metallskalet och detonationsgaserna som är anmärkningsvärt exakt i många fall.

Ett viktigt förenklingsantagande som Gurney gjorde var att det finns en linjär hastighetsgradient i de explosiva detonationsproduktgaserna; i situationer där detta kränks kraftigt, såsom implosioner, är noggrannheten i ekvationerna låg. I de vanligaste situationerna som man stöter på i ammunition (granater som omger sprängämnen) fungerar detta dock anmärkningsvärt bra. I sådana fall ligger approximationerna inom 10 % av experimentella eller detaljerade numeriska resultat över ett brett intervall av förhållandena metallmassa (M) till explosiv laddnings massa (C) (0,1 < M/C < 10,0). Detta beror på kompensationsfel i den förenklade modellen. Att ignorera sällsynthetsvågor i detonationsgaserna gör att den beräknade hastigheten blir för hög; antagandet om en initial konstant gasdensitet snarare än att den faktiska av gaserna är tätast efter det accelererade skiktet gör att värdet blir lågt, vilket eliminerar varandra. Därför kanske försök att förbättra Gurney-modellens noggrannhet genom att göra mer realistiska antaganden om en eller annan aspekt faktiskt inte förbättrar noggrannheten i resultatet.

Definitioner och enheter

Gurneys ekvationer relaterar följande storheter:

C - Massan av sprängladdningen

M - Massan av den accelererade granaten eller materialplåten (vanligtvis metall). Skalet eller arket kallas ofta flygblad eller flygblad .

V eller V _m - Hastighet för accelererad flygare efter explosiv detonation

N - Massan av en manipuleringsgranula eller ett ark på andra sidan av sprängladdningen, om det finns

$E$ - Energin per massa av ett sprängämne som hamnar som kinetisk energi

${\sqrt {2E}}$ - Gurney-konstanten för ett givet sprängämne. Detta uttrycks i hastighetsenheter (till exempel millimeter per mikrosekund) och jämför den relativa flyghastigheten som produceras av olika explosiva material.

För imploderande system, där en ihålig sprängladdning accelererar en inre massa mot mitten, tar beräkningarna dessutom hänsyn till:

R _o - Explosivladdningens yttre radie

R _i - Sprängladdningens inre radie

Gurney konstant och detonationshastighet

Som en enkel approximativ ekvation är det fysiska värdet av ${\sqrt {2E}}$ vanligtvis mycket nära 1/3 av det explosiva materialets detonationshastighet för standardsprängämnen. För en typisk uppsättning militära sprängämnen varierar värdet på ${\frac {D}{\sqrt {2E}}}$ från mellan 2,32 för Tritonal och 3,16 för PAX-29n.

Gurney hastighet ${\sqrt {2E}}$ för några vanliga sprängämnen
	Densitet	Detonationshastighet	${\sqrt {2E}}$
Explosiv	${\frac {g}{cm^{3}}}$	${\frac {mm}{\mu s}}$	${\frac {mm}{\mu s}}$
Komposition B	1,72	7,92	2,70
Komposition C-3	1,60	7,63	2,68
Cyclotol 75/25	1,754	8.25	2,79
HMX	1,89	9.11	2,97
LX-14	1,835	8,65	2,80
Octol 75/25	1,81	8,48	2,80
PBX 9404	1,84	8,80	2,90
PBX 9502	1,885	7,67	2,377
PETN	1,76	8,26	2,93
RDX	1,77	8,70	2,83
Tetryl	1,62	7,57	2,50
TNT	1,63	6,86	2,44
Tritonal	1,72	6,70	2,32

${\frac {mm}{\mu s}}$ är lika med kilometer per sekund, en mer bekant enhet för många tillämpningar.

De vanligen angivna värdena för ${\sqrt {2E}}$ är vad som kallas terminalvärden , gränsfallet för acceleration i cylinderexpansionstester som används för att mäta den (vid 19-26 mm expansion). Det finns också ett promptvärde som kan mätas för mindre expansionsradier (5-7 mm). När inget förtydligande ges i litteraturen är det normalt gränsvärdet.

Fragmenterande kontra icke-fragmenterande yttre skal

Gurney-ekvationerna ger ett resultat som antar att flygbladsplattan förblir intakt under hela accelerationen. För vissa konfigurationer är detta sant; explosiv svetsning, till exempel, använder en tunn skiva sprängämne för att jämnt accelerera platta metallplåtar och kollidera med dem, och plattorna förblir solida genomgående. Men för många konfigurationer där material accelereras utåt, spricker det expanderande skalet på grund av sträckning. När det spricker bryts det vanligtvis i många små fragment på grund av de kombinerade effekterna av pågående expansion av skalet och avspänningsvågor som rör sig in i materialet från sprickpunkter.

För spröda metallskal är fragmenthastigheterna typiskt cirka 80 % av det värde som förutsägs av Gurney-formlerna.

Effektiv laddningsvolym för laddningar med liten diameter

Effektiv laddningsmassa för tunna laddningar - en 60° kon

De grundläggande Gurney-ekvationerna för plana ark antar att materialarket har en stor diameter.

Små sprängladdningar, där sprängämnets diameter inte är nämnvärt större än dess tjocklek, har minskad effektivitet då gas och energi går förlorad till sidorna.

Denna förlust är empiriskt modellerad som att reducera den effektiva sprängladdningsmassan C till ett effektivt värde C _eff , vilket är volymen av sprängämnen som finns i en 60° kon med sin bas på sprängämnes/flygplansgränsen.

Att sätta en cylindrisk manipulation runt sprängladdningen minskar den sidoförlusten effektivt, som analyserats av Benham.

Onormala förutsägelser

1996 beskrev Hirsch en prestandaregion, för relativt små förhållanden av ${\frac {M}{C}}$ där Gurney-ekvationerna ger en felaktig bild av det faktiska fysiska beteendet.

Värdeintervallet för vilka de grundläggande Gurney-ekvationerna genererade onormala värden beskrivs av (för platta asymmetriska och öppna sandwichkonfigurationer):

${\frac {M}{C}}\left[\left(4{\frac {N}{C}}\right)+1\ höger]<{\frac {1}{2}}$

För en sandwichkonfiguration med öppen ansikte (se nedan) motsvarar detta värden på ${\frac {M}{C}}$ på 0,5 eller mindre. För en sandwich med manipuleringsmassa lika med explosiv laddnings massa ( ${\displaystyle {\frac {N}{C}}\geq 1.0} )$ kommer en flygbladsmassa på 0,1 eller mindre av laddningsmassan att vara onormal.

Detta fel beror på att konfigurationen överskrider ett av de underliggande förenklade antagandena som används i Gurneys ekvationer, att det finns en linjär hastighetsgradient i de explosiva produktgaserna. För värden på ${\frac {M}{C}}$ utanför den anomala regionen är detta ett bra antagande. Hirsch visade att när den totala energifördelningen mellan flygbladsplattan och gaserna överstiger enhet, går antagandet sönder, och Gurneys ekvationer blir mindre exakta som ett resultat.

Komplicerande faktorer i det anomala området inkluderar detaljerat gasbeteende hos de explosiva produkterna, inklusive reaktionsprodukternas värmekapacitetsförhållande γ.

Modern sprängämnesteknik använder beräkningsmetoder som undviker detta problem.

Ekvationer

Cylindrisk laddning

Cylindrisk laddning av massa C och flygbladsskal med massa M

För det enklaste fallet är en lång ihålig cylinder av metall helt fylld med sprängämnen. Cylinderns väggar accelereras utåt enligt beskrivningen av:

${\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {1}{2}}\right)^{-1/2}$

Denna konfiguration är en första ordningens approximation för de flesta militära explosiva enheter, inklusive artillerigranater , bomber och de flesta missilstridsspetsar . Dessa använder mestadels cylindriska sprängladdningar.

Sfärisk laddning

Centruminitierad sfärisk laddning - sfärisk sprängladdning med massa C och sfärisk flygbladsskal med massa M

En sfärisk laddning, initierad i dess centrum, kommer att accelerera ett omgivande flygbladsskal enligt beskrivningen av:

${\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}}+{\frac {3}{5}}\right)^{-1/2}$

Denna modell approximerar beteendet hos militärgranater och vissa klusterbombsubmunitioner .

Symmetrisk smörgås

Symmetrisk sandwich - platt sprängämneslager med massa C och två flygbladsplattor med massa M vardera

Ett plant lager av sprängämne med två identiska tunga platta flygblad på varje sida kommer att accelerera plattorna enligt beskrivningen av:

${\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left(2{\frac {M}{C}}+{ \frac {1}{3}}\right)^{-1/2}$

Symmetriska smörgåsar används i vissa reaktiva pansarapplikationer , på tungt bepansrade fordon som huvudstridsstridsvagnar . Det inåtskjutande flygbladet kommer att träffa fordonets huvudpansar och orsaka skada om pansaret inte är tillräckligt tjockt, så dessa kan endast användas på tyngre pansarfordon. Lättare fordon använder reaktivt pansar med öppet ansikte (se nedan). Den dubbla rörliga plattan för en symmetrisk sandwich erbjuder dock det bästa pansarskyddet.

Asymmetrisk smörgås

Asymmetrisk sandwich - platt sprängämneslager med massa C , flygblad med olika massor M och N

Ett plant lager av sprängämne med två plana flygplansplattor med olika massa kommer att accelerera plattorna enligt beskrivningen av:

Låt: $A={\frac {1+2{\frac {M}{C}}}{1+2{\frac {N}{C} }}}$

${\frac {V_{M}}{\sqrt {2E}}}= \left({\frac {1+A^{3}}{3(1+A)}}+A^{2}{\frac {N}{C}}+{\frac {M}{C} }\right)^{-1/2}$

Oändligt tampad smörgås

Oändligt täppt smörgås - platt sprängämneslager av massa C , flygblad av massa M och oändligt kraftigt bakstycke

När ett plant lager av sprängämne placeras på en praktiskt taget oändligt tjock stödyta och toppas med en flygblad av material, kommer flygbladsplattan att accelereras enligt beskrivningen av:

${\frac {V_{M}}{\sqrt {2E}}}=\left({\frac {M}{C}} +{\frac {1}{3}}\right)^{-1/2}$

Öppen smörgås

Öppen smörgås (ingen stampning) - platt sprängämneslager med massa C och enkelskylt med massa M

Ett enda platt ark av sprängämnen med en flygblad på ena sidan, känd som en "öppen smörgås", beskrivs av:

Eftersom:

$N=0$

sedan:

$A=1+2\left({\frac {M}{C}}\right)$

vilket ger:

${\frac {V}{\sqrt {2E}}}=\left [{\frac {1+\left(1+2{\frac {M}{C}}\right)^{3}}{6\left(1+{\frac {M}{C}}\höger )}}+{\frac {M}{C}}\right]^{-1/2}$

Sandwichkonfigurationer med öppen yta används vid explosionssvetsning och vissa andra metallformningsoperationer.

Det är också en konfiguration som vanligtvis används i reaktiv pansar på lätt bepansrade fordon, med den öppna vändsidan nedåt mot fordonets huvudpansarplatta. Detta minimerar de reaktiva pansarenheternas skador på fordonsstrukturen under avfyring.

Imploderande cylinder

Enhetligt initierad cylindrisk laddning som imploderar en inre massa-cylinderskal explosiv laddning med massan C , yttre manipuleringsskikt med massa N och inre imploderande cylindriskt flygbladsskal med massa M , med inre sprängladdningsradie R _i och yttre laddningsradie på R _o

En ihålig cylinder av sprängämne, initierad jämnt runt dess yta, med en yttre manipulation och ett inre ihåligt skal som sedan accelereras inåt (" imploderat ") snarare än utåt beskrivs av följande ekvationer.

Till skillnad från andra former av Gurney-ekvationen måste implosionsformer (cylindriska och sfäriska) ta hänsyn till formen på kontrollvolymen för det detonerande skalet av sprängämnen och fördelningen av momentum och energi inom detonationsproduktgaserna. För cylindriska implosioner förenklas Ro _den Ri _inblandade geometrin till att inkludera sprängladdningens inre och yttre radier, och .

$\beta ={\frac {R_{o}}{R_{i}}}$

$a=1$

$A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {\left({\frac {M}{C}}+a\left({\frac {M}{C} }\right)\left(\beta -1\right)+{\frac {\beta +2}{3\left(\beta +1\right)}}\right)}{\left({\frac { N}{C}}+{\frac {2\beta +1}{3\left(\beta +1\right)}}\right)}}$

${\frac {V_{m}}{\sqrt {2E}}}=$ $\left[A\left\{{\frac {\left({\frac {M}{C}} +{\frac {\beta +3}{6\left(\beta +1\right)}}\right)}{A}}+A\left({\frac {N}{C}}+{\ frac {3\beta +1}{6\left(\beta +1\right)}}\right)-1/3\right\}\right]^{-1/2}$

Medan de imploderande cylinderekvationerna i grunden liknar den allmänna ekvationen för asymmetriska smörgåsar, är den inblandade geometrin (volym och area inom sprängämnets ihåliga skal och expanderande skal av detonationsproduktgaser som trycker inåt och ut) mer komplicerad, vilket ekvationerna visar.

Konstanten $a$ bestämdes experimentellt och analytiskt till 1,0.

Imploderande sfärisk

Enhetligt initierad sfärisk laddning som imploderar en inre massa-sfärisk skalexplosiv laddning med massan C , yttre manipuleringsskikt med massa N och inre imploderande sfärisk flygbladsskal med massan M

Ett specialfall är en ihålig sfär av sprängämnen, initierad jämnt runt dess yta, med en yttre manipulation och ett inre ihåligt skal som sedan accelereras inåt ("imploderat") snarare än utåt, beskrivs av:

$\beta ={\frac {R_{o}}{R_{i}}}$

$a=1$

$A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {\left[{\frac {M}{C} }+\left(a{\frac {M}{C}}\right)\left(\beta ^{2}-1\right)+{\frac {\beta ^{2}+2\beta +3 }{4\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\höger]}{\left({\frac {N}{C}}+{\frac {3\beta ^{ 2}+2\beta +1}{4\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)}}$

${\frac {V_{m}}{\sqrt {2E}}}=$ $\left[A\left\{{\frac {\left({\frac {M}{C}}+{\frac {\beta ^{2}+3\beta +6}{10\left (\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)}{A}}+A\left({\frac {N}{C}}+{\frac {6\beta ^{ 2}+3\beta +1}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right)-{\frac {3\beta ^{2}+4\beta + 3}{10\left(\beta ^{2}+\beta +1\right)}}\right\}\right]^{-1/2}$

Den sfäriska Gurney-ekvationen har tillämpningar i tidig kärnvapenkonstruktion .

Ansökningar

Kärnvapen

Se även