Gradientliknande vektorfält

I differentiell topologi , en matematisk disciplin, och mer specifikt i Morse-teorin , är en gradientliknande vektorfält en generalisering av gradientvektorfält .

Den primära motivationen är som ett tekniskt verktyg i konstruktionen av morsefunktioner , att visa att man kan konstruera en funktion vars kritiska punkter ligger på distinkta nivåer. Man konstruerar först en morsefunktion och använder sedan gradientliknande vektorfält för att flytta runt de kritiska punkterna, vilket ger en annan morsefunktion.

Definition

Givet en morsefunktion f på ett grenrör M, är ett gradientliknande vektorfält X för funktionen f , informellt:

• bort från kritiska punkter pekar X "i samma riktning som" gradienten för f, och
• nära en kritisk punkt (i närheten av en kritisk punkt) är den lika med gradienten för f, när f skrivs i standardform som ges i morselemman .

Formellt:

• bort från kritiska punkter, $X\cdot f>0,$
• runt varje kritisk punkt finns det ett område där f ges som i morselemman:

$f(x)=f(b)-x_{1}^{ 2}-\cdots -x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$

och där X är lika med gradienten av f.

Dynamiskt system

Det associerade dynamiska systemet för ett gradientliknande vektorfält, ett gradientliknande dynamiskt system , är ett specialfall av ett Morse-Smale-system .

• En introduktion till morseteori, Yukio Matsumoto, 2002, avsnitt 2.3: Gradientliknande vektorfält, sid. 56–69
• Gradientliknande vektorfält finns , 25 september 2009