Geometrisk akustik

Geometrisk akustik eller strålakustik är en gren av akustik som studerar ljudutbredning utifrån konceptet akustiska strålar , definierade som linjer längs vilka den akustiska energin transporteras. Detta koncept liknar geometrisk optik , eller stråloptik, som studerar ljusutbredning i termer av optiska strålar . Geometrisk akustik är en ungefärlig teori, giltig i det begränsade fallet med mycket små våglängder eller mycket höga frekvenser. Den huvudsakliga uppgiften för geometrisk akustik är att bestämma ljudstrålars banor. Strålarna har den enklaste formen i ett homogent medium , där de är raka linjer. Om mediets akustiska parametrar är funktioner av rumsliga koordinater, blir strålbanorna kurvlinjära, och beskriver ljudreflektion, brytning, möjlig fokusering, etc. Ekvationerna för geometrisk akustik har i huvudsak samma form som de för geometrisk optik. Samma lagar för reflektion och brytning gäller för ljudstrålar som för ljusstrålar. Geometrisk akustik tar inte hänsyn till så viktiga vågeffekter som diffraktion . Det ger dock en mycket bra approximation när våglängden är mycket liten jämfört med de karakteristiska dimensionerna av inhomogena inneslutningar genom vilka ljudet fortplantar sig.

Matematisk beskrivning

Diskussionen nedan är från Landau och Lifshitz. Om amplituden och utbredningsriktningen varierar långsamt över våglängdsavstånden, kan en godtycklig ljudvåg approximeras lokalt som en plan våg. I detta fall hastighetspotentialen skrivas som

\phi =\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }

För plan våg ${\displaystyle \psi ={\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega t+\alpha } , där k {\$ displaystyle $\ fetsymbol {k}}}$ är en konstant vågnummervektor, $\omega$ är en konstant frekvens, ${\boldsymbol {r}}$ är radievektorn, $t$ är tiden och $\alpha$ är någon godtycklig komplex konstant. Funktionen $\psi$ kallas eikonal . Vi förväntar oss att eikonalen kommer att variera långsamt med koordinater och tid som överensstämmer med approximationen, och i så fall ger en Taylor-serieexpansion

\psi =\psi _{o}+{\boldsymbol {r}}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial {\boldsymbol {r}}}}+t{\frac {\ partiell \psi }{\partial t}}.

Genom att likställa de två termerna för $\psi$ , finner man

{\boldsymbol {k}}={\frac {\partial \psi }{\partial {\boldsymbol {r}}}},\quad \ omega =-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}

För ljudvågor gäller förhållandet ${\displaystyle \omega ^{2}=c^{2}k^{2}},$ där $c$ är ljudets hastighet och $k$ är storleken på vågnummervektorn. Därför uppfyller eikonalen en första ordningens ickelinjär partiell differentialekvation ,

\left({\frac {\frac {\frac {\ psi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\ partiell \psi }{\partial z}}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}} \right)^{2}=0.

där $c$ kan vara en funktion av koordinater om vätskan inte är homogen. Ovanstående ekvation är samma som Hamilton–Jacobi-ekvationen där eikonalen kan betraktas som handlingen . Eftersom Hamilton–Jacobis ekvation är ekvivalent med Hamiltons ekvationer, i analogi, finner man att

{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {k}}}{\mathrm {d} t}}= -{\frac {\partial \omega }{\partial {\boldsymbol {r}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t} }={\frac {\partial \omega }{\partial {\boldsymbol {k}}}}

Praktiska tillämpningar

Praktiska tillämpningar av metoderna för geometrisk akustik kan hittas inom mycket olika områden av akustik. Till exempel, inom arkitektonisk akustik gör ljudstrålars rätlinjiga banor det möjligt att bestämma efterklangstid på ett mycket enkelt sätt. Funktionen av fathometers och hydrolocatorer baseras på mätningar av den tid som krävs för ljudstrålar att färdas till ett reflekterande föremål och tillbaka. Strålkonceptet används vid design av ljudfokuseringssystem. Dessutom har den ungefärliga teorin om ljudutbredning i inhomogena medier (som havet och atmosfären ) utvecklats till stor del på grundval av den geometriska akustikens lagar.

Metoderna för geometrisk akustik har ett begränsat tillämpningsområde eftersom själva strålkonceptet endast är giltigt för de fall där amplituden och riktningen för en våg genomgår små förändringar över avstånd av storleksordningen för en ljudvågs våglängd . Mer specifikt är det nödvändigt att dimensionerna på rummen eller hindren i ljudvägen ska vara mycket större än våglängden . Om de karakteristiska dimensionerna för ett givet problem blir jämförbara med våglängden, börjar vågdiffraktionen spela en viktig roll, och detta täcks inte av geometrisk akustik.

Programvaruapplikationer

Begreppet geometrisk akustik används ofta i mjukvaruapplikationer . Vissa program som använder geometrisk akustik för sina beräkningar är ODEON, Enhanced Acoustic Simulator for Engineers och Olive Tree Lab Terrain.

externa länkar