Geometrisk ändlighet
Inom geometri kallas en grupp isometrier av hyperboliskt utrymme geometriskt ändligt om det har en väluppfostrad fundamental domän . Ett hyperboliskt grenrör kallas geometriskt ändligt om det kan beskrivas i termer av geometriskt ändliga grupper .
Geometriskt ändliga polyedrar
En konvex polyeder C i hyperboliskt utrymme kallas geometriskt ändlig om dess stängning C i den konforma komprimeringen av hyperboliskt utrymme har följande egenskap:
- För varje punkt x i C finns det en grannskap U av x så att alla ytor av C som möter U också passerar genom x ( Ratcliffe 1994 , 12.4).
Till exempel är varje polyeder med ett ändligt antal ytor geometriskt ändligt. I hyperboliskt utrymme med dimensionen högst 2 har varje geometriskt ändlig polyeder ett ändligt antal sidor, men det finns geometriskt ändliga polyedrar i dimensionerna 3 och uppåt med oändligt många sidor. Till exempel, i det euklidiska rummet R n med dimensionen n ≥2 finns det en polyeder P med ett oändligt antal sidor. Den övre halvplansmodellen av n +1 dimensionellt hyperboliskt rymd i Rn , +1 projicerar till Rn och den omvända bilden av P under denna projektion är en geometriskt ändlig polyeder med ett oändligt antal sidor.
En geometriskt ändlig polyeder har bara ett ändligt antal spetsar, och alla utom ändligt många sidor möter en av spetsarna.
Geometriskt ändliga grupper
En diskret grupp G av isometrier av hyperboliskt utrymme kallas geometriskt ändlig om den har en fundamental domän C som är konvex, geometriskt ändlig och exakt (varje yta är skärningspunkten mellan C och gC för några g ∈ G ) ( Ratcliffe 1994 , 12.4 ).
I hyperboliska utrymmen med dimensionen högst 3 har varje exakt, konvex, fundamental polyeder för en geometriskt ändlig grupp endast ett ändligt antal sidor, men i dimensionerna 4 och uppåt finns exempel med ett oändligt antal sidor (Ratcliffe 1994, sats 12.4 ) .6).
I hyperboliska utrymmen med dimensionen högst 2 är ändligt genererade diskreta grupper geometriskt ändliga, men Greenberg (1966) visade att det finns exempel på ändligt genererade diskreta grupper i dimension 3 som inte är geometriskt ändliga.
Geometriskt ändliga grenrör
Ett hyperboliskt grenrör kallas geometriskt ändligt om det har ett ändligt antal komponenter, som var och en är kvoten av hyperboliskt utrymme med en geometriskt ändlig diskret grupp av isometrier ( Ratcliffe 1994 , 12.7).
Se även
- Greenberg, L. (1966), "Fundamental polyhedra for kleinian groups", Annals of Mathematics , Second Series, 84 : 433–441, doi : 10.2307/1970456 , ISSN 0003-486X , JSTOR 19704520 , 4MR 4602
- Ratcliffe, John G. (1994), Foundations of hyperbolic manifolds , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0