Generisk planhet
I algebraisk geometri och kommutativ algebra anger satserna för generisk flathet och generisk freeness att under vissa hypoteser är en bunt av moduler på ett schema platt eller fri . De beror på Alexander Grothendieck .
Generisk flathet anger att om Y är ett integrerat lokalt noterskt schema, u : X → Y är en finit typ av scheman, och F är en koherent O X -modul, så finns det en icke-tom öppen delmängd U av Y så att begränsningen av F till u −1 ( U ) är platt över U .
Eftersom Y är integral är U en tät öppen delmängd av Y . Detta kan användas för att härleda en variant av generisk planhet som är sant när basen inte är integral. Antag att S är ett noterskt schema, u : X → S är en morfism av ändlig typ, och F är en koherent O X -modul. Sedan finns det en uppdelning av S i lokalt slutna delmängder S 1 , ..., S n med följande egenskap: Ge varje X × S Si S i dess reducerade schemastruktur, beteckna med X i fiberprodukten , och beteckna med F i begränsningen F ⊗ O S O S i ; då är varje F i platt.
Generisk freeness
Generisk flathet är en konsekvens av det generiska freeness-lemmat. Generisk freeness säger att om A är en nothersk integraldomän , B är en finit typ A -algebra, och M är en finit typ B -modul, så finns det ett icke-noll element f av A så att Mf är en fri A f -modul. Generisk freeness kan utvidgas till den graderade situationen: Om B graderas med de naturliga talen, A agerar i grad noll och M är en graderad B -modul, kan f väljas så att varje graderad komponent i M f är fri.
Generisk freeness bevisas med Grothendiecks teknik för dévissage . En annan version av generisk freeness kan bevisas med Noethers normaliseringslemma .
Bibliografi
- Eisenbud, David (1995), Kommutativ algebra med sikte på algebraisk geometri , Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1 , MR 1322960
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 24 . doi : 10.1007/bf02684322 . MR 0199181 .