Generaliserat wienerfilter

Wienerfiltret som ursprungligen föreslagits av Norbert Wiener är ett signalbehandlingsfilter som använder kunskap om de statistiska egenskaperna hos både signalen och bruset för att rekonstruera en optimal uppskattning av signalen från en brusig endimensionell tidsordnad dataström . Det generaliserade Wiener-filtret generaliserar samma idé bortom domänen av endimensionell tidsordnad signalbehandling, där tvådimensionell bildbehandling är den vanligaste tillämpningen.

Beskrivning

Betrakta en datavektor d $\displaystyle d}$ som är summan av oberoende signal- och brusvektorer $d=s+n$ med noll medelvärde och kovarianser $\ langle ss^{T}\rangle =S$ och $\langle nn^{T}\rangle =N$ . Det generaliserade Wiener-filtret är den linjära operatorn $G$ som minimerar den förväntade residualen mellan den uppskattade signalen och den sanna signalen, $e= \langle (Gd-s)^{T}(Gd-s)\rangle$ . G $G$ som minimerar detta är ${\displaystyle G=S(S+N)^{-1}} ,$ resulterar i Wiener-estimatorn ${\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d$ . I fallet med Gaussisk distribuerad signal och brus är denna estimator också den maximala a posteriori estimatorn .

Det generaliserade wienerfiltret närmar sig 1 för signaldominerade delar av datan och S/N för brusdominerade delar.

En ofta sedd variant uttrycker filtret i termer av inversa kovarianser. Detta är matematiskt ekvivalent, men undviker överdriven förlust av numerisk precision i närvaro av högvarianslägen. I denna formulering blir det generaliserade wienerfiltret $G=(S^{-1}+N^{-1})^{-1} N^{-1}$ med identiteten $A^{-1}+B^{-1}=A^{- 1}(A+B)B^{-1}$ .

Ett exempel

Den kosmiska mikrovågsbakgrunden (CMB) är ett homogent och isotropt slumpfält , och dess kovarians är därför diagonal i en sfärisk övertonsbas. Varje given observation av CMB kommer att vara bullrig, med bruset som vanligtvis har andra statistiska egenskaper än CMB. Det kan till exempel vara okorrelerat i pixelutrymme. Det generaliserade Wiener-filtret utnyttjar denna skillnad i beteende för att isolera så mycket som möjligt av signalen från bruset.

Resultatet av att applicera ett generaliserat wienerfilter på en bullrig observation av den kosmiska mikrovågsbakgrunden. Filtret resulterar i en bild som är signaldominerad i alla skalor, till priset av att införa en bias (ses som oskärpa i det här exemplet).

Den Wiener-filtrerade uppskattningen av signalen (CMB i detta fall) ${\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d$ kräver invertering av den vanligtvis enorma matrisen $S+N$ . Om S och N var diagonala i samma bas skulle detta vara trivialt, men ofta, som här, är det inte fallet. Lösningen måste i dessa fall hittas genom att lösa ekvivalentekvationen $(S+N)S^{-1}{\hat {s}}=d$ , till exempel via konjugerade gradientiteration . I detta fall kan alla multiplikationer utföras i lämplig bas för varje matris, vilket undviker behovet av att lagra eller invertera mer än deras diagonal. Resultatet kan ses i figuren. ^{[ citat behövs ]}

Se även