Generaliserad Maxwell-modell

Schematisk modell av Maxwell–Wiechert

Den generaliserade Maxwell-modellen, även känd som Maxwell-Wiechert-modellen (efter James Clerk Maxwell och E Wiechert) är den mest allmänna formen av den linjära modellen för viskoelasticitet . I denna modell är flera Maxwell-element monterade parallellt. Den tar hänsyn till att avslappningen inte sker vid en enda tidpunkt, utan i ett antal tider. På grund av närvaron av molekylära segment av olika längd, med kortare som bidrar mindre än längre, finns det en varierande tidsfördelning. Wiechert-modellen visar detta genom att ha så många spring-dashpot Maxwell-element som krävs för att korrekt representera fördelningen. Figuren till höger visar den generaliserade Wiechert-modellen.

Allmän modellform

Fasta ämnen

Givet $N+1$ element med moduli $E_{i}$ , viskositeter $\eta _{i}$ och relaxationstider ${ \displaystyle \tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}}$

Den allmänna formen för modellen för fasta ämnen ges av :

General Maxwell Solid Model ()

$\sigma +$$_ summa _{n=1}^{N}{\left({\summa _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\summa _{i_{a }=i_{a-1}+1}^{N-\left({na}\right)+1}{...\left({\summa _{i_{n}=i_{n-1} +1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j} }}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n }}}}}$

$=$

$E_{0}\epsilon +$$\sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1 }=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({na}\right )+1}{...\left({\summa _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\summa _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\höger)...}} \right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}$

Detta kan vara lättare att förstå genom att visa modellen i en något mer utökad form:

General Maxwell Solid Model ()

$\sigma +$${\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i} }}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+$${\left({\summa _{i=1}^{N-1}{\left({\summa _{j=i+1}^{N}{\tau _ {i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}$$+...+$

$\left({\sum _{i_{1}=1} ^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({na}\right)+1} {...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1 },...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){ \frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}$$+...+$$\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i }}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}$

$=$

$E_{0}\epsilon +$${\left({\summa _{i=1} ^{N}{\left({E_{0}+E_{i}}\right)\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t }}}+$${\left({ \sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}+E_{ j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t} ^{2}}}$$+...+$

$\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a -1}+1}^{N-\left({na}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{ N}{\left({\left({E_{0}+\summa _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{ j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}} }\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t} ^{n}}}$$+...+$$\left({E_{0}+\summa _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac { \partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}$

Exempel: standard linjär solid modell

Att följa ovanstående modell med $N+1=2$ element ger den linjära solida standardmodellen :

Standard linjär solid modell ()

$\sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=E_{0}\epsilon +\tau _{1}\left({E_{0}+E_{1}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}$

Vätskor

Givet $N+1$ element med moduli $E_{i}$ , viskositeter $\eta _{i}$ och relaxationstider ${ \displaystyle \tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}}$

Den allmänna formen för modellen för vätskor ges av:

General Maxwell Fluid Model ()

$\sigma +$$_ summa _{n=1}^{N}{\left({\summa _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\summa _{i_{a }=i_{a-1}+1}^{N-\left({na}\right)+1}{...\left({\summa _{i_{n}=i_{n-1} +1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j} }}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n }}}}}$

$=$

$\sum _{n=1}^{N}{\left({\eta _{0}+\summa _{i_{1}=1}^{N -n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({na}\right)+1}{.. .\left({\summa _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\summa _{j\in \left\{{i_{ 1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},.. .,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){ \frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}$

Detta kan vara lättare att förstå genom att visa modellen i en något mer utökad form:

General Maxwell Fluid Model ()

$\sigma +$${\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i} }}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+$${\left({\summa _{i=1}^{N-1}{\left({\summa _{j=i+1}^{N}{\tau _ {i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}$$+...+$

$\left({\sum _{i_{1}=1} ^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({na}\right)+1} {...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1 },...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){ \frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}$$+...+$$\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i }}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}$

$=$

${\left({\eta _{0}+\summa _{i=1}^{N}{E_{i} \tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+$${\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N-1}{ \left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}} \right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}$$+...+$

$\left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\summa _{i_ {a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({na}\right)+1}{...\left({\summa _{i_{n}=i_{n- 1}+1}^{N}{\left({\left({\summa _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{ E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k }}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial { t}^{n}}}$$+...+$$\left({\eta _{0 }+\left({\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}} }\right)}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}$

Exempel: vätska med tre parametrar

Den analoga modellen till den vanliga linjära solida modellen är vätskan med tre parametrar, även känd som Jeffreys-modellen:

Maxwell Fluid Model med tre parametrar ( )

$\sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t} }}=\left({\eta _{0}+\tau _{1}E_{1}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}$